Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Содержание
  1. Многоугольники. Подробная теория с примерами
  2. Произвольные многоугольники
  3. Шестиугольник
  4. Треугольник
  5. Правильные многоугольники
  6. МНОГОУГОЛЬНИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
  7. ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
  8.  
  9. Элементы многоугольника и свойства многоугольника
  10. 1.2 Ломаная
  11. 1.3 Определение многоугольника
  12. 1.4 Выпуклые и невыпуклые многоугольники
  13. 1.5 Элементы многоугольника
  14. 1.6 Четырехугольник
  15. 1.7 Теорема о сумме углов n-угольника
  16. Многоугольники и их свойства | Виктор Осипов
  17. Опорный конспект 4. Правильные многоугольники — УчительPRO
  18. 1. Правильный многоугольник. Теорема об описанной и вписанной окружностях.
  19. 2. Выражение стороны а через R и r для правильного n-угольника.
  20. 6. Формула длины окружности. Вывод.
  21. 7. Формула площади круга. Вывод.
  22. 8. Длина дуги и площадь сектора.
  23. 9. Площадь сегмента.
  24. 10. Радианная мера угла.
  25. ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !
  26. Свойства многоугольников и их применение в решении задач (стр. 1 из 5)
  27. Курсовая работа: Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Многоугольники. Подробная теория с примерами

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки   — вершины многоугольника.
  • Отрезки   – стороны многоугольника.

При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна  , где буква « » означает число углов многоугольника.

Давай сразу к примерам:

Шестиугольник

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула  . Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Всего вершин:   Из вершины   можем провести диагонали во все вершины, кроме:
  • Самой вершины  
  • Вершины  
  • Вершины  

Значит всего диагоналей  . А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на  . Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно   треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно  .

Ну вот,   треугольника, в каждом по  , значит:

Сумма углов многоугольника равна   

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

  1. Разделение на треугольники.
  2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был  -угольник:

Его сумма углов  . Провели диагональ, скажем  :

Получился пятиугольник   и семиугольник  . Сумма углов   равна  , а сумма углов   равна  . А вместе :   — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна  . А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем   можно найти:

 .

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на  . В нем  

Значит,   — и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае  ?

Ровно половине  , представь себе!

Значит  . Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника  .

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки  ? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти   (то есть  ).

Мы знаем, что в   сумма углов равна  . Значит:

Потому  

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

МНОГОУГОЛЬНИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки   — вершины многоугольника.
  • Отрезки   – стороны многоугольника.

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Например: многоугольник c   сторонами называют четырехугольником, многоугольник с   сторонами — шестиугольником и так далее по аналогии.

ЧетырехугольникШестиугольник
  • Выпуклый многоугольник — многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна   или  , где   — внутренний угол многоугольника.

Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного  -угольника равен  .

  • Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой:  , где  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/mnogougolniki-2

Элементы многоугольника и свойства многоугольника

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Многоугольник – это геометрический объект, который имеет свои элементы и свойства. Вначале нам необходимо дать определение многоугольнику.

Дать определение чему-либо – значит объяснить, что это такое. Когда мы даем определение новому понятию, мы должны обратиться к тем понятиям, которые уже известны. В нашем случае это понятие ломаной.

К элементам многоугольника относят вершины, стороны, углы, диагонали.

Свойства многоугольника – это определенные теоремы, которые мы далее сформулируем и докажем.

Все многоугольники можно разделить на две группы: выпуклые и невыпуклые. Вам нужно будет ясно понимать, как провести такое разделение. рис.1

1.2 Ломаная

Ломаная – геометрическая фигура, которая состоит из последовательно соединенных отрезков. Ломаные могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Основным элементом ломаной является отрезок, который называют звеном. Часто используют термин смежные отрезки. Здесь нужно обратить внимание на два момента:

  • cмежные отрезки имеют общий конец;
  • cмежные отрезки не лежат на одной прямой.

Ломаная может пересекать саму себя. Такая ломаная называется самопересекающейся или непростой ломаной. Если пересечений нет, то мы имеем дело с простой ломаной.

рис.2

1.3 Определение многоугольника

Теперь мы можем дать определение геометрическому объекту многоугольник.

Очевидно, что многоугольником называется простая замкнутая ломаная. Но такое определение будет не полным. Достаточно вспомнить понятия круга и окружности. В первом случае это линия, во втором часть плоскости, ограниченная этой линией.

рис.3

Если идти таким путем, то в нашем случае тоже появится два понятия. Это, конечно, излишне. Итак, ломаная ограничивает часть плоскости, поэтому нам нужно учесть этот момент и сформулировать определение так:

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

1.4 Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Все многоугольники делятся на два типа: выпуклые и невыпуклые многоугольники.

На рисунке представлены эти два вида. Интуитивно мы можем определить какой выпуклый, а какой нет. Нам нужно сформулировать правило по которому мы сможем относить любой многоугольник к определенной группе. рис.

4 В обоих случаях проведем прямую, которая содержит сторону А1А6. Слева многоугольник целиком лежит по одну сторону от прямой, а справа только часть многоугольника.

Это правило позволяет дать нам следующее определение:

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. В противном случае он называется невыпуклым.

1.5 Элементы многоугольника

Рассмотрим элементы многоугольника. рис.5

Здесь нужно выделить такие элементы как:

  • смежные стороны (стороны, которые имеют общую вершину);
  • внешний угол (угол смежный с внутренним углом);
  • диагональ (отрезок, который соединяет две не соседние вершины многоугольника).

1.6 Четырехугольник

В нашем курсе будут рассматриваться в основном четырехугольники (многоугольники с четырьмя углами). Здесь можно выделить такие элементы как:

  • противоположные стороны (две несоседние стороны);
  • противоположные углы (углы при противоположных вершинах).

Диагональ четырехугольника разбивает его на два треугольника. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух треугольников. То есть 1800 + 1800 =3600. Итак: сумма углов четырехугольника равна 3600

1.7 Теорема о сумме углов n-угольника

Многоугольник у которого n-углов называют n-угольником.

Используя термин n-угольник, мы тем самым показываем, что нам не важно сколько углов и сторон у нашего многоугольника. Для того чтобы нарисовать n-угольник, достаточно выделить пунктиром сторону содержащую предпоследнюю вершину. Свойство, которое позволяет находить нам сумму углов любого многоугольника называется теоремой о сумме углов n-угольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна $180 \cdot (n-2) $

Для доказательства теоремы воспользуемся методом, который был рассмотрен при нахождении суммы углов четырехугольника.

  1. Проведем из вершины A1 диагонали ко всем несоседним сторонам. Диагонали разбивают многоугольник на треугольники. Теперь нам нужно определить какое количество треугольников получилось.
  2. Мы можем рассуждать следующим образом:
  • если разбить диагоналями 5-угольник, то получится 3 треугольника;
  • если 6-угольник, то 4 треугольника;
  • если 7-угольник, то 5 треугольников.

Значит n-угольник разобьется на n-2 треугольника. Такое рассуждение называют рассуждением по индукции (от частного переходим к общему).

Рассуждение по индукции — это когда из частичных знаний мы получаем выводы о ситуации в целом.

Можно рассуждать по-другому. Когда мы проводим диагональ, на каждую сторону приходится по треугольнику за исключением двух смежных сторон A1A2 и A1An, то есть n-2 треугольника.

3.В каждом треугольнике сумма углов равна 180, значит сумма углов n-угольника: $180 \cdot (n-2)$.

Источник: https://edututor.ru/courses/quadrangle/example1/

Многоугольники и их свойства | Виктор Осипов

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

(C4) Планиметрическая задача

Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами С и В1. Точки О и О1 – центры квадратов.

а) Докажите, что прямая ОО1 пересекает отрезки А1В и С1D под одинаковыми углами.б) Найдите ОО1, если $$A_{1}B+C_{1}D=12\sqrt{2}$$

В пятиугольнике А1А2А3А4А5 площади всех треугольников А1А2А3, А2А3А4, А3А4А5, А4А5А1, А5А1А2 равны 1.

а) Докажите, что А1А2||A3A5б) Найдите площадь пятиугольника А1А2А3А4А5 Ответ: $$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$$

Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что $$MN=\frac{1}{3}BC$$

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен $$\frac{15}{17}$$. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 560. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции в пол­то­ра раза боль­ше дру­го­го.

Ответ: $$\frac{576}{35} ; \frac{63}{5}$$

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK. 

Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ю­щая с пря­мой AB угол α, tg α = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 4.

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если её сред­няя линия равна 3 и  $$\sin \angle AOB=\frac{3}{5}$$.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{4} ; \frac{13\sqrt{3}}{6}$$

Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$$

Источник: https://mathlesson.ru/node/8047

Опорный конспект 4. Правильные многоугольники — УчительPRO

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 4. Правильные многоугольники

Правильный многоугольник — это такой многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Равносторонний треугольник и квадрат — правильные многоугольники.

Если разделить окружность на п равных частей и соединить соседние точки отрезками, то получим правильный многоугольник.

Вокруг всякого правильного многоугольника можно описать окружность, в него также можно вписать окружность, и центры этих окружностей совпадают.

Мы научимся строить правильный треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник при помощи циркуля и линейки и выведем формулы, связывающие радиусы вписанной и описанной окружностей с длиной стороны правильного многоугольника.

Если число сторон вписанного правильного многоугольника увеличивать, то его периметр будет стремиться к длине окружности, а площадь — к площади круга. Отсюда можно получить формулы длины окружности и площади круга: С = 2πR и S = πR2.

Вы знаете, что углы измеряются в градусах. Градус, как известно, равен 1/180 части развернутого угла. Мы познакомимся еще с одной очень важной единицей измерения углов, которая связана с окружностью, — 1 радианом. 1 рад = 57°.

1. Правильный многоугольник. Теорема об описанной и вписанной окружностях.

Правильным называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Теорема. Вокруг всякого правильного многоугольника можно описать окружность. Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают.

Доказательство. Проведем биссектрисы двух углов правильного многоугольника. Получим равнобедренный треугольник (углы при основании равны как половины равных углов). Соединив точку пересечения биссектрис с третьей вершиной многоугольника, получим треугольник, равный 1-му (по двум сторонам и углу между ними).

Продолжая соединять эту точку с остальными вершинами, получим множество равных равнобедренных треугольников. Тогда полученная точка равноудалена от всех вершин правильного многоугольника. Значит, она — центр описанной окружности.

Так как высоты этих треугольников, опущенные на их основания, равны, то данная точка равноудалена и от сторон правильного многоугольника. Значит, она — центр вписанной окружности.

2. Выражение стороны а через R и r для правильного n-угольника.

Соединим центр правильного многоугольника с двумя соседними вершинами. Получим равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 360°/n. Половина его равна 180°/n, где n — число сторон. Из прямоугольного треугольника находим:

6. Формула длины окружности. Вывод.

Теорема. Длина окружности С = 2πR.

Доказательство. Рассмотрим ДВА правильных вписанных многоугольника с одинаковым числом сторон n. При увеличении числа сторон их периметры Р1 и Р2 будут стремиться к длинам окружностей, т. е. к С1 и С2. Поэтому

Мы получили, что отношение длины окружности С к ее диаметру 2R есть величина постоянная для всех окружностей. Это отношение обозначается буквой π («пи» — первая буква древнегреческого слова «периметрон» — окружность). Так как для любой окружности C/2R = π, то длина окружности С = 2 πR.

По числу букв в словах фразы «Это я знаю и помню прекрасно, но многие цифры мне лишни, напрасны» можно воспроизвести 12 первых знаков числа π: π = 3,14159265358….

7. Формула площади круга. Вывод.

Теорема. Площадь круга S = πR2.

8. Длина дуги и площадь сектора.

Длина дуги и площадь сектора пропорциональны градусной мере дуги или центрального угла сектора:

Формулы длины дуги и площади сектора не нужно запоминать — они находятся из логически понятной пропорции:

  • а) длина дуги составляет от длины окружности такую же часть, какую составляет ее градусная мера от 360°;
  • б) площадь сектора составляет от площади круга такую же часть, какую составляет его центральный угол (его дуга) от 360°.

9. Площадь сегмента.

Площадь сегмента равна площади сектора минус или плюс площадь равнобедренного треугольника, образованного радиусами этого сектора. Минус — если центральный угол сектора меньше 180°, и плюс — если больше 180°. Если центральный угол равен 180°, то этот сегмент — полукруг, и его площадь равна πR2/2.

10. Радианная мера угла.

Радианом называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, равную 1 радиусу.

Так как длина окружности С = 2πR, то в окружности укладывается радиусов (≈ 6,28 радиуса), а в полуокружности — π радиусов (≈3,14 радиуса).

2π радиан = 360°.  ⇒  π радиан = 180°.  ⇒  1 радиан = 180°/π ≈ 57°

При расчетах слово «радиан» не пишут: π/2 =90°, π/3 = 60°, π/4 =45°, π/6 = 30°.

ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

Это опорный конспект № 4 по геометрии для 9 класса «Правильные многоугольники». Выберите дальнейшие действия:

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82-4-%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3/

Свойства многоугольников и их применение в решении задач (стр. 1 из 5)

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Учреждение образования «Брестский государственный университет
им. А.С. Пушкина»

Кафедра алгебры и геометрии

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Курсовая работа

студентки 3 курса

Руководитель

преподаватель кафедры алгебры и геометрии

Брест 2007

ВВЕДЕНИЕ

Многими математическими знаниями люди пользовались уже в глубокой древности – тысячи лет назад. Эти знания были необходимы древним купцам и строителям храмов, дворцов и пирамид, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

Знания постепенно накапливались и систематизировались. Около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объёмов, о свойствах различных фигур.

Так как речь в основном шла о земельных участках, то древние греки, узнавшие об этой науке от египтян, назвали её геометрией (по-гречески «гео» — земля, а «метрео» — измеряю. Значит, «геометрия» буквально означает «землемерие».

Греческие учёные узнали много новых свойств геометрических фигур, и уже тогда геометрией стали называть науку о геометрических фигурах, а для науки об измерении Земли ввели другое название – «геодезия» (происходит от греческих слов «деление земли»).

Древние люди знали, что немаловажное значение имеют такие фигуры как многоугольники. Например, древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

В данной работе мне предстоит изучить некоторые свойства многоугольников и их особенности при решении задач, а также научиться применять полученные знания на практике.

1.1.МНОГОУГОЛЬНИКИ. СВОЙСТВА МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис.1а) ), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым (рис.1б) )

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины

-угольника при > 3 выходят — 3 диаго­нали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно .

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

2. он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полуплоскостей;

3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Свойства многоугольников:

1 Каждая диагональ выпуклого

-уголь­ника, где >3, разлагает его на два выпуклых много­угольника.

2 Сумма всех углов выпуклого

-угольника равна .

Д-во: Теорему докажем методом математической ин­дукции. При

= 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где < , и докажем ее для -угольника. Пусть — данный многоугольник. Прове­дем диагональ этого многоугольника. По теоре­ме3 многоугольник разложен на треугольник и выпуклый -угольник (рис.5). По предположению индукции . С другой сто­роны, . Складывая эти ра­венства и учитывая, что ( — внутренний луч угла ) и ( — внутренний луч угла ), получаем .При получаем: .

3 Около любого правильного многоуголь­ника можно описать окружность, и притом только одну.

Д-во: Пусть правильный многоугольник, а и — биссектрисы углов , и (рис. 150). Так как , то , следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА2= О = … = ОАп. Треугольник О равнобедренный, поэтому О = О . По второму признаку равенства треугольников , следовательно, О = О . Аналогично

Источник: https://mirznanii.com/a/314380/svoystva-mnogougolnikov-i-ikh-primenenie-v-reshenii-zadach

Курсовая работа: Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Учреждение образования «Брестский государственный университет
им. А.С. Пушкина»

Кафедра алгебры и геометрии

Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Курсовая работа

студентки 3 курса

Руководитель

преподаватель кафедры алгебры и геометрии

Брест 2007

ВВЕДЕНИЕ

Многими математическими знаниями люди пользовались уже в глубокой древности – тысячи лет назад. Эти знания были необходимы древним купцам и строителям храмов, дворцов и пирамид, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

Знания постепенно накапливались и систематизировались. Около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объёмов, о свойствах различных фигур.

Так как речь в основном шла о земельных участках, то древние греки, узнавшие об этой науке от египтян, назвали её геометрией (по-гречески «гео» — земля, а «метрео» — измеряю. Значит, «геометрия» буквально означает «землемерие».

Греческие учёные узнали много новых свойств геометрических фигур, и уже тогда геометрией стали называть науку о геометрических фигурах, а для науки об измерении Земли ввели другое название – «геодезия» (происходит от греческих слов «деление земли»).

Древние люди знали, что немаловажное значение имеют такие фигуры как многоугольники. Например, древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

В данной работе мне предстоит изучить некоторые свойства многоугольников и их особенности при решении задач, а также научиться применять полученные знания на практике.

1.1.МНОГОУГОЛЬНИКИ. СВОЙСТВА МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис.1а) ), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым (рис.1б) )

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины -угольника при > 3 выходят — 3 диаго­нали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно .

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Многоугольник с n вершинами называется n- угольником.

Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

2. он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полуплоскостей;

3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Свойства многоугольников:

1 Каждая диагональ выпуклого -уголь­ника, где >3, разлагает его на два выпуклых много­угольника.

2 Сумма всех углов выпуклого -угольника равна .

Д-во: Теорему докажем методом математической ин­дукции. При = 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где b (2.2)

Эта система неравенств равносильна двойному неравенству

|ab|

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-222167.html

Refy-free
Добавить комментарий