Система координат

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве, трехмерная система координат, координаты точек

Система координат

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O. Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O, имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Координатными осями называют Ох и Оу, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление Ох слева направо, а Oy – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех Ох, Оу, Оz осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где Оz имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях.

Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой.

Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равняется единственной точке М, расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если -3, то соответственное расстояние 3. Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М, расположенная на Ox, равна действительному числу xM . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении Ox и Оу. Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число xM называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки Mx на Ох, а как проекцию точки My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, где послучим соответственные точки пересечения  Mx и My .

Тогда точка Mx на оси Ох имеет соответствующее число xM , а My на Оу — yM. На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел (xM, yM), называемую ее координатами. Абсцисса M – это xM , ордината M – это yM .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара (xM, yM) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются Mx, My, Mz,  являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси Ох, Оу, Оz. Тогда значения этих точек на осях Ох, Оу, Оz примут значения xM, yM, zM. Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M, необходимо добавить перпендикулярные прямые Ох, Оу, Оz продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M. Таким образом, плоскости пересекутся в Mx, My, Mz

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (xM, yM, zM) , которые имеют название координаты точки M, , xM, yM, zM- это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M. Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/prjamougolnaja-sistema-koordinat-na-ploskosti-i-v/

Географические координаты

Система координат

ВВЕДЕНИЕ

Координаты — это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве относительно принятой системы координат.
Система координат устанавливает начальные (исходные) точки, поверхности или линии отсчета необходимых величин — начало отсчета координат, единицы их исчисления.

В топографии и геодезии наибольшее применение получили системы географических, прямоугольных и полярных координат.
Система географических координат применяется для определения положения точек Земли на эллипсоиде или шаре.

Исходными плоскостями в этой системе являются плоскости начального меридиана и экватора, а координатами — угловые величины: долгота и широта точки.
Из первой темы известно, что меридиан — это линия сечения эллипсоида плоскостью проходящей через данную точку и полярную ось вращения Земли.


Параллелью называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и перпендикулярную земной оси РР'. Параллель, проходящая через центр эллипсоида, называется экватором.


Географические координаты могут быть получены на основании астрономических наблюдений или геодезических измерений. В первом случае их называют астрономическими, во втором — геодезическими.

При астрономических наблюдениях проектирование точек на поверхность осуществляется отвесными линиями, при геодезических измерениях — нормалями, поэтому величины астрономических и геодезических географических координат несколько отличаются.
К системам координат, которые наиболее часто применяют в геодези, относятся геодезическая, астрономическая, сферическая, плоская прямоугольная, полярная и биполярная.

Геодезическими координатами называются угловые величины (широта и долгота), определяющие положение точек (объектов) на поверхности земного эллипсоида (референц-эллипсоида) относительно плоскости экватора и начального меридиана.
Геодезической широтой (В) называется угол, заключенный между плоскостью экватора и нормалью к поверхности земного эллипсоида, проходящей через данную точку.

Рис. 3.1. Геодезическая система координат

Счет геодезических широт ведется от 0 до 90° к северу и к югу от экватора. Геодезические широты Северного полушария называются северными и имеют знак « + », а Южного — южными и имеют знак «—». Геодезическая широта измеряется центральным углом в плоскости меридиана.

Геодезическая широта (в градусах) показывает, насколько данная точка на земном эллипсоиде расположена севернее или южнее плоскости экватора. Геодезическая широта для точек, расположенных на экваторе, будет равна 0°, а для точек, расположенных на полюсах    ± 90°.

Геодезической долготой (L) называется двугранный угол, заключенный между плоскостью начального меридиана и плоскостью геодезического меридиана, проходящего через данную точку.

В старину в отдельных государствах за начальный меридиан принимали меридиан, проходящий через свою главную обсерваторию. В настоящее время в Украине и в большинстве стран мира для единообразия в определении долгот условились начальным считать Гринвичский меридиан, проходящий через астрономическую обсерваторию в Гринвиче (близ Лондона). От этого меридиана ведется счет так называемого международного гринвичского времени.
Геодезическая долгота измеряется либо центральным углом в плоскости экватора или параллели, либо дугой экватора от начального (Гринвичского) меридиана до меридиана, проходящего через данную точку (М), в пределах от 0 до 180° к востоку или к западу. Геодезические долготы для точек, расположенных к востоку от меридиана Гринвича до 180°, называются восточными и считаются положительными, а к западу – западными и считаются отрицательными.
Восточная долгота обозначается буквами (в.д.) или знаком « + », западная долгота — буквами (з.д.) или знаком « – ».
Геодезическая система координат, отнесенная к эллипсоиду Красовского, была разработана в 1942 – 1943 годах, поэтому она получила название системы координат 1942 года. Вместе с ней была принята Балтийская система высот, по которой ведется отсчет абсолютных высот относительно нуля Кронштадтского футштока (Футшток — специальная рейка с делениями).

3.2. АСТРОНОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Астрономические координаты определяют положение точки на поверхности геоида. Их можно получить путем астрономических измерений с помощью геодезических инструментов или путем математической обработки результатов геодезических измерений.

Астрономической широтой (φ) называется угол, заключенный между плоскостью земного экватора и направлением отвесной линии в данной точке. Астрономическая широта измеряется от 0 до 90° к северу и к югу от экватора. В Северном полушарии астрономические широты называются северными, а в Южном — южными.

Отвесная линия в общем случае не совпадает с направлением нормали к поверхности земного эллипсоида. Поскольку различные по плотности массы в теле Земли распределены неравномерно, то отклонение отвесной линии (силы тяжести) от нормали различное в разных точках Земли.

Так, например, в районе Кавказа отклонения отвесных линий от нормалей достигают 35″, а разность отклонений отвесных линий на противоположных берегах озера Байкал достигает 40″. В среднем величина отклонений равна 4 – 5″ (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Астрономическая система координат

Астрономической долготой (λ) называется двугранный угол, заключенный между плоскостью начального астрономического меридиана и плоскостью астрономического меридиана, проходящего через данную точку.

Поскольку плоскость астрономического меридиана проходит через отвесную линию в данной точке на поверхности Земли, а плоскость геодезического меридиана проходит через нормаль к поверхности эллипсоида, следовательно, плоскости астрономического и геодезического меридианов не совпадают.

В результате этого геодезическая широта, долгота и геодезический азимут в данной точке отличаются от астрономической широты, долготы, и астрономического (истинного) азимута.

Эти расхождения будут увеличиваться там, где наблюдаются большие отклонения отвесной линии от нормали, а также в тех точках геоида, где его поверхность дальше удалена от поверхности эллипсоида.

Геодезическая и астрономическая системы координат различаются как две отдельные системы при определении местоположения объектов с точностью до 1″ (в линейной величине до 20 – 30 м). Зная астрономические координаты, можно вычислить геодезические координаты путем ввода поправок на уклонение отвесных линий от нормалей, определяемых астрономо-геодезическим методом или по специальным гравиметрическим картам.

3.3. СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

При решении ряда геодезических задач и составлении карт мелких масштабов Землю принимают за сферу. Положение точек местности на сфере определяется сферическими координатами: сферической широтой и сферической долготой.

Сферическими координатами называются угловые величины (широта и долгота), определяющие положение точек местности на поверхности земной сферы относительно плоскости экватора и начального меридиана (рис. 3.2).

Сферической широтой (φ) называется угол, заключенный между плоскостью экватора и направлением из центра земной сферы на данную точку.

Сферическая широта измеряется центральным углом или дугой меридиана в тех же пределах, что и геодезическая широта – от 0 до 90° к северу и к югу от экватора. Сферические широты в Северном полушарии называются северными и обозначаются знаком «+», а в Южном – южными и обозначаются знаком «–».

Сферической долготой (λ) называется двугранный угол, заключенный между плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через данную точку. Сферическая долгота измеряется либо центральным углом в плоскости экватора или в плоскости параллели, либо дугой экватора или дугой параллели от началь­ного (Гринвичского) меридиана до меридиана, проходящего через данную точку в пределах от 0 до 180° к востоку и к западу.

Рис. 3.3. Сферическая система координат

Сферические долготы для точек, расположенных к востоку от Гринвичского меридиана до 180°, называются восточными и считаются положительными, а к западу — западными и считаются отрицательными. При решении некоторых практических задач сферическая долгота отсчитывается от 0 до 360° только к востоку от Гринвичского меридиана.

Все вычисления, связанные с автоматизированным определением координат, углов и расстояний, решаются на поверхности земной сферы с использованием формул сферической тригонометрии, поэтому поверхность земного эллипсоида проектируется на поверхность сферы.

В практике часто пользуются сферой радиусом  R = 6371 км, поверхность которой равна поверхности эллипсоида.

При этом максимальные погрешности в определении расстояний достигают 0,5% и углов не более 0,4°.

Длина дуги большого круга на сфере в 1секунду, равная 1852 м, называется морской милей.
Вышеназванные погрешности не позволяют реализовать точность современных средств автоматизированного определения координат. Поэтому в современных вычислителях с ЦВМ применяется формулы с учетом сжатия Земли. При этом максимальные искажения расстояний составляют 0,08% — 0,17%, а искажения углов практически отсутствуют.

3.4. ПОЛЯРНАЯ И БИПОЛЯРНАЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Полярными координатами называются угловая и линейная величины, определяющие положение точки на плоскости относительно начала координат, принимаемого за полюс, и полярной оси. Местоположение любой точки определяется углом положения, отсчитанным от полярной оси до направления на определяемую точку, и расстоянием от полюса до этой точки (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Полярная  система координат

За полярную ось могут быть приняты: истинный или магнитный меридиан, вертикальная линия сетки и направление на любой ориентир.
При работе на местности за полярную ось принимают северное направление магнитного меридиана или направление на какой-нибудь ориентир с точки стояния.

Биполярными координатами называются две угловые или две линейные величины, определяющие местоположение точки на плоскости относительно двух исходных точек (полюсов). Положение любой точки на карте или на местности определяется двумя координатами. Этими координатами могут быть два угла положения либо два расстояния от полюсов до определяемой точки (рис. 3.5, 3.6).

 
Рис. 3.5. Определение места точки по двум дирекционным углам

Рис. 3.6. Определение места точки по двум  дальностям

3.5. СИСТЕМА ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ

Плоскими прямоугольными геодезическими координатами (прямоугольными координатами) называются линейные величины — абсцисса и ордината,— определяющие положение точки на плоскости относительно исходных направлений.

        

Рис. 3.7. Система плоских прямоугольных координат

Исходными направлениями служат две взаимно перпендикулярные линии (рис. 3.7) с началом отсчета в точке их пересечения (О). Прямая XX является осью абсцисс, а прямая УУ, перпендикулярная к оси абсцисс, — осью ординат. В такой системе положение любой точки на плоскости определяется кратчайшим расстоянием до нее от осей координат.

Так, положение точки А определяется длиной перпендикуляров ха и уа. Отрезок ха называется абсциссой точки А, а уа — ординатой. Выражаются абсциссы и ординаты в линейной мере (обычно в метрах). В геодезии и топографии принята правая система прямоугольных координат: это отличает ее от левой системы координат, используемой в математике.

Четверти системы координат (название которых определяется принятыми обозначениями стран света), нумеруются по ходу часовой стрелки. В такой системе упрощается измерение углов ориентирования. Абсциссы точек, расположенных вверх от начала координат, считаются положительными, а вниз от нее — отрицательными.

Ординаты точек, расположенных вправо от начала координат, считаются положительными, а влево от нее — отрицательными (см. табл. 1.2).

Таблица 1.1

I II IIIIVСеверо-восток (СВ) Юго-восток (ЮВ) Юго-запад (ЮЗ)Северо-запад (СЗ)+ — —++ + ——

Система плоских прямоугольных координат применяется на ограниченных участках земной поверхности, которые могут быть приняты за плоские.
Для небольших участков начало отсчета координат может быть в любой точке участка (система с условным началом координат).

В государственной системе координат за ось ординат принимают линию экватора, за ось абсцисс — направление меридиана, который называется осевым (он совпадает с направлением одной из осей системы прямоугольных координат).

При проведении работ на значительных по площади территориях осевыми выбирают несколько меридианов.

3.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧЕК ПО КАРТЕ

Топографические карты печатаются отдельными листами, размеры которых установлены для каждого масштаба. Боковыми рамками листов служат меридианы, а верхней и нижней рамками – параллели. (рис. 3.9).

Следовательно, географические координаты можно определить по боковым рамкам топографической карты. На всех картах верхняя рамка всегда обращена на север. Географическую широту и долготу подписывают в углах каждого листа карты.

На картах Западного полушария в северо-западном углу рамки каждого листа правее значения долготы меридиана помещают надпись: «К западу от Гринвича».

На картах масштабов 1 : 25 000 – 1 : 200 000 стороны рамок разделены на отрезки, равные 1′ (одной минуте, рис. 3.8).

Эти отрезки оттенены через один и разделены точками (кроме карты масштаба 1 : 200 000) на части по 10″ (десять секунд).

На каждом листе карты масштабов 1 : 50 000 и 1 : 100 000 показывают, кроме того, пересечение среднего меридиана и средней параллели с оцифровкой в градусах и минутах, а по внутренней рамке – выходы минутных делений штрихами длиной 2 – 3 мм. Это позволяет при необходимости прочерчивать параллели и меридианы на карте, склеенной из нескольких листов.

Рис. 3.8. Боковые рамки карты

При составлении карт масштабов 1 : 500 000 и 1 : 1 000 000 на них наносят картографическую сетку параллелей и меридианов. Параллели проводят соответственно через 20′ и 40' (минут), а меридианы – через 30' и 1°.

Географические координаты точки определяют от ближайшей параллели и от ближайшего меридиана, широта и долгота которых известны.

Например, для карты масштаба 1 : 50 000 «ЗАГОРЯНИ» ближайшими параллелями будут параллели с широтами 54º40′ и 54º50′, а ближайшими меридианами будут меридиан с долготами 18º00′ и 18º15′ (рис. 3.10).

Рис. 3.9. Определение географических координат

Для определения широты заданной точки необходимо:

  • одну ножку циркуля-измерителя установить на заданную точку, другую ножку по кратчайшему расстоянию установить на ближайшую параллель (для нашей карты 54º40′);
  • не меняя раствор циркуля-измерителя установить его на боковую рамку с минутными и секундными делениями, одна ножка должна быть на южной параллели (для нашей карты 54º40′), а другая – между 10-секундными точками на рамке;
  • посчитать количество минут и секунд от южной параллели до второй ножки циркуля-измерителя;
  • добавить полученный результат к южной широте (для нашей карты 54º40′).

Для определения долготы заданной точки необходимо:

  • одну ножку циркуля-измерителя установить на заданную точку, другую ножку по кратчайшему расстоянию установить на ближайший меридиан (для нашей карты 18º00′);
  • не меняя раствор циркуля-измерителя установить его на ближайшую горизонтальную рамку с минутными и секундными делениями (для нашей карты нижнюю рамку), одна ножка должна быть на ближайшем меридиане (для нашей карты 18º00′), а другая – между 10-секундными точками на горизонтальной рамке;
  • посчитать количество минут и секунд от западного (левого) меридиана до второй ножки циркуля-измерителя;
  • добавить полученный результат к долготе западного меридиана (для нашей карты 18º00′).

Обратите внимание на то, что данный способ определения долготы заданной точки для карт масштаба 1:50 000 и мельче имеет погрешность за счет схождения меридианов, ограничивающих топографическую карту с востока и запада. Северная сторона рамки будет короче, чем южная.

Следовательно, расхождения между измерениями долготы на северной и южной рамке могут отличаться на несколько секунд. Чтобы добиться высокой точности в результатах измерений необходимо определить долготу и по южной и по северной стороне рамки, а затем произвести интерполяцию.

Для повышения точности определения географических координат можно использовать графический метод. Для этого необходимо соединить прямыми линиями ближайшие к точке одноименные десятисекундные деления по широте к югу от точки и по долготе к западу от нее.

Затем определить размеры отрезков по широте и долготе от прочерченных линий до положения точки и суммировать их соответственно с широтой и долготой прочерченных линий.
Точность определения географических координат по картам масштабов 1 : 25 000 – 1 : 200 000 составляет 2′′ и 10′′ соответственно.

Вопросы и задания для самоконтроля

  1. Какие плоскости в системе географических координат являются исходными?
  2. Дайте определения «геодезические координаты», «геодезическая широта», «геодезическая долгота».
  3. В каких пределах измеряется геодезическая широта и геодезическая долгота?
  4. Чему равна геодезическая широта точек, расположенных на экваторе и на южном полюсе?
  5. Дайте определения «астрономические координаты», «астрономическая широта», «астрономическая долгота».
  6. Дайте определения «сферические координаты», «сферическая широта», «сферическая долгота».
  7. Чем обусловлена морская миля и какова ее длина?
  8. Какие координаты называют полярными?
  9. Какими величинами определяют положение точки в полярной системе координат?
  10. Какими величинами определяют положение точки в биполярной системе координат?
  11. Какими величинами определяют положение точки в плоской прямоугольной системе координат?
  12. Какие знаки имеют плоские прямоугольные координаты х и у в I, II, III и IV четвертях?

Источник: http://topography.ltsu.org/geodezy/g3.html

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. урок. Геометрия 11 Класс

Система координат

В  классе мы с вами обсуждали прямоугольную систему координат. Тогда речь шла о плоскости: у нас были две перпендикулярные оси, и каждую точку плоскости мы задавали с помощью так называемых координат, то есть величин, которые требовалось «пройти» до данной точки от начала координат. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Система координат на плоскости

С помощью координат было удобно решать разные задачи, но мы применяем их и в жизни. Например, в кинотеатре мы ищем свое кресло сначала по ряду, а затем по номеру в ряду. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Место в кинотеатре – модель координатной плоскости

Но мы живем не в двухмерном пространстве, а в трехмерном. Поэтому имеет смысл поговорить об аналоге уже привычной нам системы координат, перенеся ее в пространство.

Рассмотрим такую ситуацию. Предположим, что мы пошли не в кино, а на балет. У нас есть билет, на котором написаны ряд и место. Можем ли мы легко найти свое кресло? Да, если речь о партере.

Но ведь мы можем сидеть и выше: в амфитеатре или на любом из ярусов. Поэтому в данном случае мы прибегаем к трем измерениям: сначала по высоте (ярус, амфитеатр или партер), затем уже ряд, а затем место.

(См. Рис. 3.)

Рис. 3. Расположение мест в театре как пример трехмерной системы координат

Мы пользуемся координатами и тогда, когда выбираем товары в гипермаркете самообслуживания. Например, мы хотим купить стол и нам дается инструкция, что он находится в  ряду, на  полке снизу, место номер . Мы сначала ищем ряд (первая координата), затем – место (вторая), потом – полку (третья). Можно, разумеется, сначала найти полку, а потом место. Так или иначе, речь идет о трех координатах.

Рассмотрим произвольную точку  пространства. Проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые. На каждой из них обозначим направление. Это и будут оси координат – теперь их стало три. Обратите внимание, что ось направлена к нам, ось  вправо, а  – вверх. Порядок здесь важен, так как такие направления образуют так называемую правую тройку. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Оси координат трехмерного пространства

Эту картинку можно поворачивать так, как нам удобно. Например, если мы ее повернем на  против часовой стрелки в плоскости , то получим следующую картинку:  вправо,  – вглубь,  – вверх. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Поворот «тройки» на  против часовой стрелки в плоскости

Все это допустимые картинки, выбирайте любую из них. Некоторым удобна последняя, ведь она получается естественным образом из плоскостной. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. К системе координат на плоскости добавили ось

Рассмотрим тройку векторов , , , отложенных от одной точки . Эта тройка векторов называется правой, если векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. В противном случае тройка называется левой.

На рисунке (См. Рис. 7.) справа изображена правая тройка векторов, а слева – левая. Это также полностью соответствует правилам правой и левой руки из физики.

Рис. 7. Левая и правая тройки

Оси обозначаются  (ось абсцисс),  (ось ординат) и  (ось аппликат). (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Названия координатных осей

Соответствующие плоскости – , ,  – координатные плоскости. (См. Рис. 9.) Как и на плоскости, у каждой оси в пространстве есть положительное направление и отрицательное.

Рис. 9. Координатные плоскости

Координаты точки в пространстве определяются аналогично плоскостным. Рассмотрим произвольную точку  и проведем через нее плоскости, параллельные координатным. Эти плоскости пересекут наши оси в точках  (точка пересечения параллельной плоскости с осью ),  (точка пересечения параллельной плоскости с осью ) и  (точка пересечения параллельной плоскости с осью ). (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Точки пересечения параллельных плоскостей с осями координат

Тогда абсцисса точки  – это  (в случае если  лежит на положительной полуоси) и , если  – на отрицательной. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Абсцисса точки  в зависимости от расположения точки

Аналогично определяются ордината и аппликата. Записывают координаты в круглых скобках через точку с запятой: , где , ,  (либо , ,  – в зависимости от расположения на осях координат). Не пишите координаты точки через запятую, чтобы не спутать с десятичными дробями.

У точки могут быть и нулевые координаты, если она лежит в координатной плоскости. Например, если взять точку в плоскости , то ее координаты имеют вид . А точка на оси  имеет координаты . Начало же координат – точка  – имеет координаты . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Точки с нулевыми координатами

Как и на плоскости, отложим на каждой оси от начала координат в положительном направлении по вектору, длины которых будут равны . Эти векторы называют единичными, или ортами. Обозначают их соответственно , ,  (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Орты , ,

Эти векторы не компланарны, то есть не лежат в одной плоскости, а значит, каждый вектор пространства можно единственным образом разложить по векторам , , : . Такие коэффициенты ; ;  называют координатами вектора и пишут:  – в фигурных скобках. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Координаты вектора через орты

Так, например, вектор .

На этом уроке мы познакомились с понятием «система координат в пространстве» и выяснили, как задаются координаты точки и координаты вектора.

Список литературы

  1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
  2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002
  3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, 2013

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

Домашнее задание

  1. На каких расстояниях от координатных плоскостей находится точка
  2. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси. Если да, то укажите эту ось. , , , ,
  3. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости. Если да, то назовите ее. , , , , .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/pryamougolnaya-sistema-koordinat-v-prostranstve-koordinaty-vektora

Основа ГИС – положение в пространстве. Системы координат

Система координат
Первое, с чего обычно начинается рассказ о геоинформационных системах – это описание поверхности Земли и способы определения местоположения на ней.Центральное понятие ГИС, с которым сталкивается начинающий пользователь, — это системы координат, которые определяют положение объектов на земной поверхности.

Без минимального представления о системах координат в ГИС трудно начать эффективно работать с геоданными и соответствующим программным обеспечением.
Перед тем, как прочесть эту заметку, необходимо отметить, что понимание приходит только с практикой. В начале можно следовать инструкциям в уроках и ознакомиться с несколькими видео по теме.

Существует две группы систем координат (далее СК):

  • Географические. Единицы измерения угловые и координаты представлены десятичными градусами).
  • Спроецированные (также могут называться плоские, прямоугольные, декартовы). Единицы измерения линейные и координаты могут быть выражены как метры, футы, километры и т.д. Данные находящиеся в этой системе координат часто называют спроецированными. В основе любой спроецированной системы координат лежит географическая система координат (чаще всего – WGS 84), преобразованная в плоскую с помощью того или иного типа проекции

Интерактивная карта ESRI для понимания проекций Архитектору проще всего понять и использовать спроецированные системы координат, т.к.

они ближе всего к обычному восприятию геоподосновы в САПР-форматах (например, dwg, dgn).Часто перед архитектором встает задача определить, какую спроецированную систему координат использовать для своего проекта, чтобы корректно экспортировать в CAD и выводить схемы на печать! Подробнее см.

раздел выбора спроецированной системы координат
Подробнее о системах координат, типах проекций и т.д. можно прочесть в онлайн-руководстве «Краткое введение в ГИС», раздел “Системы координат”. Спроецированных систем координат очень много.

Причина – невозможность описать сложную поверхность Земли какой-то одной формулой и развернуть ее на плоскость в любом месте. Попытаемся в двух словах обозначить роль той или иной спроецированной системы координат: различные системы координат помогают упростить и сделать более точным переход от поверхности геоида к плоской карте.

Своеобразной иллюстрацией к вышесказанному может стать схема локального датума, который определяет выравнивание эллипсоида относительно поверхности геоида для минимизации искажений при проецировании на плоскость (Рисунок 1). Красной линией обозначен геоид, черной – эллипсоид, который является сильным упрощением геоида. Важная особенность работы с системами координат: данные в разных системах координат обыкновенно «понимают» друг друга, что позволяет собирать в одном проекте совершенно различные данные.

Рисунок 1 Пример локального датума для выравнивания эллипсоида относительно геоида. Таким образом уменьшаются искажения при проецировании на плоскость. Источник

  • WGS 84 (код EPSG 4326) – Всемирная геодезическая система 1984 г. В WGS 84 могут быть открытые геоданные, GPS-треки, координаты фотографий на мобильных устройствах. Именно на этой системе координат основано множество других систем координат, поэтому в префиксе названий часто стоит WGS 84.
  • Пулково 1942 (т.н. СК 42) (РФ)
  • ПЗ-90 (РФ)

  • WGS 84 / Pseudo-Mercator (код ESPG 3857) – популярная спроецированная система координат, которую используют картографические онлайн-сервисы для отображения в браузере. Не подходит для печатных карт и схем
  • WGS 84 / UTM zone (номер зоны) (код ESPG 326XX) — спроецированная система координат, основанная на универсальной поперечной проекции Меркатора (Universal Transverse Mercator). Наиболее подходящая группа систем координат для задач архитектора. Для использования необходимо определить номер зоны. Например, для Москвы это зона 37N.
  • МСК-(номер) или другая локальная СК — местная спроецированная система координат РФ, используется в проектных работах, кадастре и тп.. Зачастую топосъемка в РФ выполняется в местной системе координат, ряд параметров которой могут быть засекречены. Это делает невозможным автоматическое преобразование в распространенные системы координат. Яркий пример — Москва, где проектные организации работают в «план-схеме»

Начинающему пользователю рекомендуется ознакомиться со списком часто задаваемых вопросов по координатам, проекциям, системам координат, размещенном на сайте gis-lab.info. Нередко приходится подключать специалистов. Обычно используется 3 СК в работе с открытыми геоданными

  • географическая СК WGS 84 (код 4326)
  • Спроецированная Pseudo-Mercator (код 3857) в метрах. Эта СК чаще всего используется в интернет-браузерах.
  • Спроецированная WGS 84/UTM zone XX (код 326XX), в метрах. Для Москвы, например, — WGS 84/UTM zone 37N (код 32637). Подходит для печати и работы с CAD. Подбирается для конкретной территории

Самое простое — это выбрать спроецированную систему координат из категории UTM.
Выбор зоны UTM при помощи интерактивной веб-карты, см. описание к карте

О системах координат в QGIS https://youtu.be/TmyRIZihNh8
СК слоя (данных) и СК проекта https://youtu.be/SwBeu9tjoAk
Выбор СК при помощи интернет-сервиса или файла разграфки https://youtu.be/QUf8F9D7ZS4. Ссылка на разграфку (источник http://gis-lab.info/qa/proj-sk-faq.html#19) О системах координат на gis-lab.info: часто задаваемые вопросы
О системах координат: видео-лекция (англ) https://www..com/watch?v=iM5JxjomvncМестные системы координат и системы координат на РФЧасто геоданные различных территорий РФ имеют свои местные системы координат. Они предустановлены в NextGIS QGIS.Геоданные в местной СК могут содержать файл проекции .prj, где есть описание СК. Не всегда QGIS ее может прочесть, тогда требуется вмешательство специалиста или самостоятельное создание новой СК внутри QGIS.

Примеры региональных МСК http://www.mapbasic.ru/msksolutions

В целом, СК для РФ базируются не на эллипсоиде WGS 84, а на других эллипсоидах. Основная система координат, которую используют различные госучреждения и в которой выполняются топосъемки, — это пространственная местная система координат МСК Москвы (Поддерживаемые системы координат и высот).

Совместить данные МСК Москвы с открытыми геоданными (в том числе из официальных источников) затруднительно, присутствует секретная составляющая, поэтому используется «план-схема» (по сути, отсутствие каких-либо описаний СК в самом файле геоданных).

Для создания пользовательской СК, которая может совместить данные МСК Москвы с открытыми геоданными с некоторой погрешностью, в QGIS можно использовать след. описание:+proj=tmerc +lat_0=55.66666666667 +lon_0=37.5 +k=1 +x_0=16.098 +y_0=14.512 +ellps=bessel +towgs84=316.151,78.924,589.650,-1.57273,2.69209,2.34693,8.

4507 +units=m +no_defsВозможно изменять параметры x_0 и y_0 вручную для лучшего совмещения, например, x_0=12 + y_0=13.512

Существует также и ПМСК, МСК-50 (Московская система координат 50 МСК-50) и СК-95

См. положение о ПМСК Москвы по ссылке. «,»author»:»»,»date_published»:»2018-01-28T00:00:00.000Z»,»lead_image_url»:»https://1.bp.blogspot.com/-6JTTR3RTOqg/XEHTJkl5BNI/AAAAAAAAHt8/jUie4PPspS0E7izbEwrFtyL5GdS9A6q6ACLcBGAs/w1200-h630-p-k-no-nu/map_projections.PNG»,»dek»:null,»next_page_url»:null,»url»:»https://gis4arch.blogspot.com/2018/12/blog-post.html»,»domain»:»gis4arch.blogspot.com»,»excerpt»:»Ð“ИС справочник для архитектора. QGIS, AutoCAD, OpenStreetMap»,»word_count»:872,»direction»:»ltr»,»total_pages»:1,»rendered_pages»:1}

Источник: https://gis4arch.blogspot.com/2018/12/blog-post.html

ГИС-Курс

Система координат

  • Документация
  • ГИС-курс

>

Теоретическая часть

Один из важных первых шагов в создании ГИС — выбор системы координат, которые вместе с масштабом, эллипсоидом и проекцией являются частью математической основы карты и ГИС в целом. Понимать такие термины как «система координат», «проекция» также чрезвычайно важно для обмена информацией с другими ГИС.

Объекты на карте связаны с реальными объектами на местности с помощью пространственных координат. Местоположение объектов на поверхности земли определяется при помощи географических координат.

Хотя географические координаты хорошо подходят для определения местоположения объекта, они не годятся для определения его пространственных характеристик, таких как длина, площадь и т.д., так как географические широта и долгота не являются однозначными единицами измерения. Градус широты равен градусу долготы только на экваторе.

Для преодоления этих трудностей, данные переводят из сферических географических координат, в прямоугольные спроектированные координаты.

Системы координат в которых осуществляется ввод данных и работа в ГИС могут отличаться от систем координат вывода. Например оцифровка материалов может проводиться в одной проекции, а составление макета карты и вывод данных на печать — в другой.

Географическая и спроектированная системы координат

Таким образом, существует 2 типа систем координат: географические системы координат и спроектированные системы координат.

Географическая система координат использует сферические (то есть трехмерные) угловые географические координаты (широту и долготу) базирующиеся одном из эллипсоидов (например, WGS 1984 или эллипсоиде Красовского).

Эллипсоид (или сфероид) — фигура упрощенно описывающая форму Земли, характеризуется размерами большой и малой полуосей. Для представления географической системы координат визуально на плоскости (например на экране компьютера) иногда представляют широту как Y, долготу как X.

В этом случае сеть меридианов и параллелей представляет собой на плоскости сетку с одинаковых размеров ячеей и выглядит таким образом:

Такое представление иногда называют географической проекцией.

Спроектированная система координат — прямоугольная система, с началом координат в определенной точке, чаще всего имеющей координаты 0,0. Спроектированная система координат связана с географической набором специальных формул — проекцией.

Локальная система координат

Не привязанные данные находятся в так называемой локальной системе координат, которая также является прямоугольной (у нее также есть начало координат и оси), но не имеет прямой связи с географической системой, то есть прямой пересчет из нее в географическую с помощью проекции невозможен (пример таких данных — отсканированная карта). То есть, получив данные в спроектированной системе координат, но не зная в какой именно системе эти данные находятся, можно также говорить, что данные находятся в локальной системе координат.

Распространенные географические системы координат.

Самыми распространенными системами координат для территории России являются: универсальная общеземная система WGS-84 (World Geodetic System — 1984) базирующаяся на эллипсоиде WGS-84 с центром в центре масс земли и референцная (используемая в России и некоторых окружающих странах) — Pulkovo-1942 (СК-42) базирующаяся на эллипсоиде Красовского, начало координат смещено относительно центра масс расстояние около 100 м (поэтому эта система и носит название референцной или относительной). Система WGS-84 широко применяется зарубежом, ее используют практически для всех данных производимых в мире. СК-42 широко используется в российской картографии, на ней основаются все топографические материалы ВТУ ГШ РФ (Военно-топографического управления Генерального штаба Российской Федерации).

Проекция

Проекция — набор математических формул, использующаяся для преобразования сферической поверхности в плоскость.

Виды проекций

По типу поверхности на которую осуществляется проектирование проекции разделяются на:

Конические (проектирование сфероида на коническую поверхность)

Цилиндрические (проектирование сфероида на цилиндрическую поверхность)

Азимутальные (проектирование сфероида на плоскость касательную сфероида)

По характеру искажений вносимых в содержание карты после проектирования карты проекции делятся на равноплощадные (отсутствуют искажения площадей), равноугольные (отсутствуют искажения углов и, следовательно формы объектов), равнопромежуточные (отсутствуют искажения длин — расстояния остаются неизменными в определенных направлениях). Существуют также проекции в которых искажения минимизированы сразу по двум или трем показателям (углы, длины, площади). Проекций в которых сохранялся бы масштаб длин во всех направлениях не существует.

Распространенные проекции

Достаточно широко распространены в России и мире группы проекций UTM (Universal Transverse Mercator) и ГК (Гаусса-Крюгера, больше распространена в России и странах Восточной Европы). Обе этих группы базируются на одной поперечной проекции Меркатора (Transverse Mercator), однако имеют различную номенклатуру (нумерацию зон) и параметры проекций для каждой зоны.

Переход между системами координат

Последнее время, с развитием спутниковой навигации, проблема перехода из универсальной общеземной системы координат используемой приборами GPS — WGS84 в другие системы координат , например СК-42 (Pulkovo 1942) встает особенно явно.

Для перехода из одной системы координат в другую используется набор параметров определяющих отличие эллипсоида на котором базируется одна СК от другого. Это т.н.

линейные элементы трансформирования определяющие сдвиг центра масс эллипсоида относительно общеземного и угловые элементы трансформирования определяющие соответственно поворот эллипсоида относительно общеземного. Обычная разница между одними и теми же координатами в разных системах составляет порядка 150 метров.

Если вы видите, что одни ваши данные равномерно смещены относительно других слоев на эту величину, то скорее всего вы используете данные находящиеся в разных системах координат, например одновременно используются данные в WGS84 и Pulkovo 1942.

Файл описания проекции

Проекция данных записывается в специальный файл (имеющий расширение prj), в котором указывается система координат, проекция, единицы измерения и другие данные, важные для пространственной привязки данных.

Без этого файла, определение проекции данных может быть затруднительно. Этот файл помогает ГИС определить пространственную привязку данных и перевести их в другую проекцию, если такая команда будет дана ГИС.

Подробнее о проекциях и системах координат:

Часто задаваемые вопросы по координатам, проекциям, системам координат >>>

Практическая часть

Скачать учебные материалы для этой главы (2.7 Мб).

В практической части этой главы Вы научитесь:

  • Назначать и менять систему координат фрейму данных;
  • Узнавать систему координат слоев для которых она указана;
  • Правильно отображать данные в разных системах координат;
  • Менять систему координат данных с созданием нового слоя.

Упражнение 1. Назначение спроектированной системы координат фрейму данных

  1. Создайте новый проект ex3.mxd
  2. Выберите свойства набора данных (на данный момент единственного) Выбор свойств набора данных может осуществляться двумя способами: — нажатием правой кнопкой мыши на названии набора данных в таблице содержания вида

    — или выбором в главном меню в закладке View\Data Frame Properties…

    В свойствах фрейма данных необходимо выбрать закладку Coordinate System и указать систему координат из папки Predefined (спроектированную — из папки Projected Coordinate Systems или географическую — из папки Geographic Coordinate Systems). С помощью кнопки Modify… параметры любой системы координат или проекции могут быть изменены. Используя кнопку New вы можете создавать новые проекции c необходимыми Вам параметрами.

  3. Установите проекцию Albers со следующими параметрами. Для этого нажмите кнопку New\Projected Coordinate System и установите следующие параметры проекции:
    Name: Albers-Europe
    Projection Name: Albers
    False_Easting: 8500000.000
    False_Northing: 0.000
    Central_Meridian: 45.000
    Standard_Parallel_1: 52.000
    Standard_Parallel_2: 64.000
    Latitude_Of_Origin: 0.000

    Кроме задания парметров проекции необходимо указать используемую географическую систему координат. Для этого нажмите кнопку Select и из папки Europe выберите систему координат Pulkovo 1942.prj

    Как Вы увидите, вновь созданная проекция добавилась в папку

    Часто бывает так, что заданные вручную параметры проекции необходимо будет использовать многократно. Для того, чтобы не прописывать эти параметры каждый раз заново, Вы можете сохранить свою проекцию в папку Favorites. Для этого необходимо нажать кнопку Add To Favorites

    Теперь для того, чтобы задать эту проекцию фрейму данных его нужно будет просто выбрать из списка в папке Favorites и нажать Apply.
    Подробнее о добавлении проекций в ArcGIS >>>

Упражнение 2. Смена географической системы координат

  1. В созданный на предыдущем шаге проект с заданной проекцией загрузите растровую карту Висимского заповедника File\Add Data\…\chapt08\o40-24.tif (путь к папке определяется тем, куда вы распаковали архив с упражнением)
  2. Ответьте «нет» на вопрос о создании пирамидных слоев. Данные слои помогают ускорить отображение больших растров, в данном случае они нам не понадобятся.
  3. Нажмите правой кнопкой мыши на слое с картой, обратите внимание на проекцию карты. Топографическая карта имеет ту же проекцию и систему координат, что и набор данных (Data Frame)
  4. Нажав правой кнопкой мыши в любом месте окна карты, также проверьте проекцию и систему координат фрейма данных (Properties\Coordinate System). Если система координат набора данных не установлена, то, после загрузки первого слоя, набор данных приобретает систему координат и проекцию первого загруженного слоя. Это является особенностью ArcGIS.
  5. Загрузите векторный слой границ Висимского заповедника File\Add Data\…\chapt08\zp-bcc.lyr (именно zp-bcc.lyr, а не zp-bcc.shp)
  6. Увеличьте правый верхний угол заповедника и измерьте расстояние от просеки (черная пунктирная линия на карте), по которой реально проходит граница заповедника, до векторной линии ее представляющей в данный момент. Хорошо видно, что граница заповедника смещена на расстояние порядка 150 метров.
  7. Допустим, что мы знаем, что слой границы заповедника получен из точечного слоя измерений GPS на вынесенных в натуру границ и, также, что точность привязки топографических карт также гораздо лучше 150 метров. В этом случае, мы можем предположить, что сдвиг связан с тем, что перехода из одной системы координат (тема zp-bcc, система координат WGS84, см. предыдущее упражнение) в другую (тема o40-24.tif, система координат Pulkovo 1942, см. предыдущее упражнение) автоматически не произошло, несмотря на то, что проекцией фрейма данных является проекция Albers-Europe и система координат Pulkovo 1942. Это также является особенностью ArcGIS, которую необходимо учитывать, при использовании данных в разных системах координат. Подробнее про настройку системы координат и различия в измерениях >>>
  8. Наша задача состоит в том, что бы такой переход все таки был осуществлен. Для этого откроем еще раз настройки системы координат в свойствах вида View\Data Frame Properties\Coordinate System и укажем явным образом трансформацию нажатием на кнопку Transformations…
  9. В пункте «трансформировать из» (Convert from:) укажем систему координат GCS_WGS_1984, а в пункте «трансформировать в» (Into:) — GCS_Pulkovo_1942. После этого станет доступна опция «трансформировать используя» (Using:), где нужно выбрать Pulkovo_1942_To_WGS_1984. Нажмите Ок.
  10. Как видно из нижеследующей иллюстрации, граница «встала» на место. Данный пример иллюстрирует особенности работы в ArcGIS с данными, находящимися в разных системах координат и особенности «поведения» ПО, необходимые при этом учитывать.

Упражнение 3. Экспорт данных в другой системе координат (перепроектировка)

  1. В результате предыдущего упражнения, на экране мы фактически получили все слои в одной системе координат — Pulkovo 1942. Однако, это сохраняется только в проекте, загрузив эти же данные в другой проект, нам придется заново устанавливать необходимые настройки. Для хранения данных в определенной системе координат постоянно может возникнуть необходимость для этих слоев навсегда задать эту систему координат.
  2. Используя результаты предыдущего проекта, щелкните правой кнопкой на теме, которую вы хотите сохранить в текущей проекции и системе координат фрейма данных.
  3. Выберите Data\Export Data… (Данные\Экспорт данных).
  4. В открывшемся окне, установите переключатель в положение Use the same Coordinate System as the data frame (для экспортируемого слоя использовать систему систему координат равную системе координат фрейма данных).
  5. После экспорта будет предложено добавить экспортированный и сконвертированный слой добавить в проект — сделайте это.
  6. Удалите предыдущую тему в системе координат WGS84.
  7. Отмените проектирование фрейма данных, выбрав его свойства, систему координат и нажав кнопку Clear (Очистить). При этом, так как система координат фрейму данных не задается, все слои будут показываться в той системе координат, в которой они находятся изначально, без проектирования «на лету» ArcGIS.
  8. Как мы видим, слой границ все так же хорошо соответствует топографической карте и в свойствах этих двух слоев значится одинаковая спроектированная система координат.

Данное упражнение иллюстрирует один из способов перевода данных из одной системы координат в другую, так чтобы новая система координат была закреплена за данными постоянно, независимо от того, в какую систему координат имеет набор данных.

>

Последнее обновление: November 29 2008

Источник: https://gis-lab.info/docs/giscourse/08-coords.html

Системы координат¶

Система координат

Цель:

Ознакомиться с системами координат.

Основные понятия:

Система координат (CRS), проекция карты, перепроецирование «на лету», широта, долгота

Проекция карты это попытка отобразить поверхности Земли или её часть на плоском листе бумаги или экране компьютера.

Система координат через координаты определяет как двумерные спроецированные карты в ГИС связаны с участками земной поверхности.

Решение об использовании той или иной проекции и системы координат зависит от охвата области, с которой необходимо работать, типа анализа, который необходимо выполнить, и, очень часто, от наличия данных.

Традиционным способом отображения формы Земли являются глобусы. Однако использование этого подхода имеет свои недостатки. Хотя глобусы по большому счету сохраняют форму Земли и иллюстрируют пространственную конфигурацию объектов размером с континент, их весьма проблематично носить в кармане. Кроме того, они удобны в использовании исключительно при малых масштабах (например 1:100 миллионам).

Большинство тематических карт, используемых в ГИС-приложениях, имеют гораздо больший масштаб. Обычно, наборы ГИС-данных имеют масштаб 1:250 000 или больше, в зависимости от уровня детализации.

Глобус таких размеров будет дорогим и его использование будет очень сложным.

Поэтому картографы разработали набор приемов, называемых проекциями карты, предназначенный для отображения сферической поверности Земли в двумерном пространстве с достаточной точностью.

Если рассматривать Землю вблизи, её можно считать плоской. Однако, при взгляде из космоса видно, что её форма приближена к сферической. Карты, как будет показано в следующем разделе, отражают реальность. На них показаны не только объекты, но и их форма и пространственное расположение.

Каждая проекция имеет достоинства и недостатки. Выбор наилучшей проекции для карты определяется её масштабом и назначением.

Например, проекция может давать неприемлемые искажения в случае отображения всего африканского континента, но идеально подходить для создания крупномасштабной (подробной) карты страны. Свойства проекций также могут влиять на визуальные параметры карты.

Так, некоторые проекции хорошо подходят для маленьких областей, другие хороши для отображения объектов, протяженных с запада на восток, третьи — для объектов вытянутых с севера на юг.

Процесс создания проекций можно представить так: внутри прозрачного глобуса с непрозрачными объектами на нём находится источник света. Тень объектов отбрасывается на плоский лист бумаги.

Разные способы проецирования могут быть получены путем оборачивания глобуса листов в цилиндр, конус или просто прикладыванием листа. Каждый из этих методов образует тип картографической проекции.

Таким образом, существуют проекции на плоскость (азимутальные), цилиндрические и конические проекции (см. рисунок figure_projection_families).

Figure Projection Families 1:

Три типа картографических проекций: a) цилиндрические, b) конические, c) азимутальные.

В настоящее время процесс проецирования сферической Земли на бумагу выполняется с использованием математических преобразований и тригонометрии. Но в основе лежит все то же пропускание луча света через глобус.

Картографические проекции никогда не дают абсолютно точное отображение сферической поверхности. В результате проецирования, карта получает искажения углов, площадей и расстояний.

Проекции могут давать как несколько типов искажений, так и достаточно приемлемый результат, в котором искажения углов, площадей и расстояний находятся в допустимых пределах.

Примером таких компромиссных проекций могут служить тройная проекция Винкеля и проекция Робинсона, часто используемые для карт мира (см. рисунок figure_robinson_projection).

Figure Robinson Projection 1:

Проекция Робинсона дает приемлемые искажения площади, расстояний и углов.

В большинстве случаев сохранить все характеристики исходных объектов при проецировании невозможно. Это значит, что когда вам требуется выполнить анализ, необходимо подбирать такую проекцию, которая даст наилучшие характеристики для анализа. Например, если требуется измерить расстояния, необходимо выбрать проекцию, которая обеспечит точные расстояния.

Когда мы работаем с глобусом, основные направления компаса (север, восток, юг и запад) всегда расположены под углом в 90 градусов друг к другу. Другими словами восток всегда будет находиться на 90 градусов от севера. Проекция может сохранять угловые направления, и такая проекция называется конморфной или равноугольной.

Проекции, сохраняющие угловые величины, очень важны. Они широко используются для навигационных и метеорологических задач. Необходимо помнить, что сохранять правильные углы на карте большой площади трудно, поэтому применять такие проекции лучше к небольшим участкам поверхности.

Конформные проекции искажают площади, а значит измерения площадей, выполненные в такой проекции будут неправильными. Чем больше площадь, тем менее точными будут измерения. Примерами проекций могут служить проекция Меркатора (см. рисунок figure_mercator_projection) и равноугольная коническая проекция Ламберта.

Геоологическая служба США использует конформные проекции для многих своих топографических карт.

Figure Mercator Projection 1:

Проекция Меркатора используется в тех случаях, когда важна правильность углов и допустимы искажения площади.

Если необходимо получить точные расстояния, то для карты выбирается проекция, хорошо передающая расстояния. Такие проекции, их называют равнопромежуточными, требуют, чтобы масштаб карты был неизменным.

Карта будет равновеликой, когда она правильно передает расстояние от центра проекции до любой точки. Равнопромежуточные проекции обеспечивают точные расстояни от центра проекции или заданой линии. Такие проекции используются для сейсмических карт, а также для навигации.

Хорошим примером равнопромежуточных проекций могут быть равнопромежуточная цилиндрическая Плате-Карре (см. рисунок figure_plate_caree_projection) и цилиндрическая равнопромежуточная.

На эмблеме ООН испльзуется азимутальная равнопромежуточная проекция (см. рисунок figure_azimuthal_equidistant_projection).

Figure Plate Carree Projection 1:

Равнопромежуточная цилиндрическая проекция Плате-Карре используется, когда необходимо получить точные расстояния.

Figure Azimuthal Equidistant Projection 1:

Логотип ООН использует азимутальную равнопромежуточную проекцию.

Если объекты на всей карте отображаются так, что сохраняются площади изображаемых объектов относительно соответствующих площадей на поверхности Земли, карта называется карта равных площадей.

На практике, общегеографические и учебные карты, чаще всего используют равновеликие проекции. Как предполагается в названии, эти карты лучше всего использовать для вычисления площадей.

Если, например, вам необходимо провести анализ свободных площадей в вашем городе, чтобы найти какой участок достаточно большой для постройки нового торгового центра, использование равновеликой проекции будет наилучшим выбором.

С одной стороны, чем больше анализируемые площади, тем точнее будут измерения при использовании равновеликих проекций. С другой стороны, при отображении с помощью равновеликих проекций больших площадей, станут слишком велики искажения углов.

Небольшие площадные объекты гораздо меньше подвержены угловым искажениям, при использовании равновеликих проекций. Alber’s equal area, Lambert’s equal area и Mollweide Equal Area Cylindrical projections (показана на рисунке figure_mollweide_equal_area_projection) часто используемые в ГИС равновеликие проекции.

Figure Mollweide Equal Area Projection 1:

Равновеликая псевдоцилиндрическая проекция Мольвейде, например, гарантирует, что площади всех отображаемых объектов на карте — пропорциональны площадям объектов на поверхности Земли.

Имейте в виду, что картографическая проекция — очень сложная тема.

Существуют сотни различных проекций, каждая из которых пытается отобразить на плоском листе бумаги определённую часть поверхности Земли как можно достовернее. На самом деле, выбор используемой проекции — ваш выбор.

Многие государства имеют наиболее часто используемые проекции и при обмене данными специалисты следуют государственному тренду.

С помощью систем координат каждая точка на поверхности Земли может быть представлена набором из трёх чисел, называемых координатами. В целом, системы координат делятся на системы координат проекций (также называемых Декартовыми или прямоугольными системами координат) и географические системы координат.

Использование географических систем координат очень распространено. Для описания положения на поверхности Земли они используют градусы широты и долготы и, иногда, значение высоты. Наиболее популярная называется WGS 84.

Параллели расположены параллельно экватору и делят поверхность Земли на 180 отрезков через равные промежутки с Севера на Юг (или с Юга на Север). Начальной линией для параллелей является экватор и каждое полушарие разделено на 90 отрезков через 1 градус широты.

В северном полушарии, широта измеряется начиная с экватора от 0, до 90 градусов на северном полюсе. В южном полушарии, широта измеряется начиная с экватора от 0, до 90 градусов на южном полюсе. Для простоты оцифровки карт, градусам широты в южном полушарии часто присваиваются отрицательные значения (от 0 до -90°).

Где бы вы ни находились на поверхности Земли, расстояние между параллелями всегда одинаковое (111 км или 60 морских миль). См. figure_geographic_crs .

Figure Geographic CRS 1:

Географическая система координат с параллелями (линии, параллельные экватору) и меридианами с центральным меридианом в Гринвиче.

Меридианы, с другой стороны, не так хорошо соответствуют стандарту единообразия. Меридианы перпендикулярны экватору и сходятся в одной точке на полюсах.

Начальная линия для меридианов (нулевой, начальный меридиан) проходит с Северного до Южного полюса через Гринвич, Англия. Последующие меридианы отсчитываются от 0 до 180 градусов на восток или запад от начального меридиана.

Заметьте, что значения к западу от начального меридиана — отрицательные, для использования в картографических приложениях. См. рисунок figure_geographic_crs .

На экваторе, и только на экваторе, длина дуги в 1 градус меридиана и длина дуги в 1 градус параллели — равны.

При движении по направлению к полюсам, расстояние между меридианами постоянно уменьшается, пока, точно на полюсе, все 360° долготы не сойдутся в одной точке — вы даже сможете пальцем прикоснуться к ней (хотя, вероятно, захотите одеть перчатки).

Используя географическую систему координат, мы получаем сетку, делящую поверхность Земли на четырёхугольники площадью примерно 12363.365 кв. километров на экваторе, которые практически бесполезны для определения местоположения чего-либо в пределах этого многоугольника.

Чтобы быть по-настоящему полезной, сетка параллелей и меридианов на карте должна быть поделена на достаточно маленькие отрезки, которые можно было бы использовать (с достаточной степенью точности) для описания расположения точки на карте.

Для достижения этой цели, градусы делятся на минуты (') и секунды («). В одном градусе 60 минут, а в минуте 60 секунд (3600 секунд в градусе). Так, на экваторе, одна секунда параллели или меридиана равна 30.

87624 метров.

Двухмерные системы координат образуются двумя осями. Располагаясь под прямым углом друг к другу, оси образуют так называемую сетку XY (смотрите левую часть рисунка figure_projected_crs). Горизонтальная ось, как правило, обозначается X, а вертикальная ось , как правило, обозначается Y.

В трёхмерных системах координат, добавляется ещё одна ось, обозначаемая Z. Она также перпендикулярна осям X и Y. Ось Z обозначает третье измерение в пространстве (смотрите правую часть рисунка figure_projected_crs).

Каждую точку выраженную в сферических координатах, можно представить в виде координат X Y Z.

Figure Projected CRS 1:

Двух и трёхмерные системы координат.

Системы координат проекций в южном полушарии (к югу от экватора) берут начало от экватора и начального меридиана. Это значит, что значения по оси Y увеличиваются к югу, а значения по оси X увеличиваются на Запад.

В северном полушарии (к северу от экватора) началом служат также экватор и начальный меридиан. Однако, теперь значения по оси Y увеличиваются на Север, а значения по оси X увеличиваются на Восток.

Далее будет описана часто используемая система координат, называемая Универсальная поперечная проекция Меркатора (Universal Transverse Mercator, UTM).

Точкой отсчёта Универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM) является экватор и начальный меридиан. В северном полушарии значения широты Y увеличиваются на север, а значения долготы X увеличиваются на восток. UTM является мировой картографической проекцией.

Это значит, что она используется для всего Земного шара. Но, как описано выше в разделе ‘точность картографических проекций’, чем больше территория, тем больше величины искажений: направлений, расстояний и площадей.

Для минимизации искажений, поверхность Земного шара разделена на 60 равных зон через 6 градусов долготы с запада на восток.

Зоны UTM ** пронумерованы **от 1 до 60, начиная с линии перемены дат (зона 1 от 0 градусов западной долготы) и далее на восток — обратно к линии перемены дат (зона 60 до 180 градуса восточной долготы) как показано на рисунке figure_utm_zones.

Figure UTM Zones 1:

Зоны Универсальной поперечной проекции Меркатора. Для Южной Африки используются зоны UTM: 33S, 34S, 35S, и 36S.

Как видно на рисунках figure_utm_zones и figure_utm_for_sa, Южная Африка покрыта четырьмя зонами UTM, что позволяет минимизировать искажения.

Зоны называются UTM 33S, UTM 34S, UTM 35S и UTM 36S.

S после номера зоны означает, что зоны расположены в южном полушарии — к югу от экватора.

Figure UTM for South Africa 1:

Зоны UTM 33S, 34S, 35S и 36S с центральными меридианами используются для высокоточного проецирования территории Южной Африки. Красный крест показывает Зону интереса (Area of Interest — AOI).

Например, мы хотим получить координаты Точки интереса (AOI) отмеченной красным крестом на рисунке figure_utm_for_sa. Как видно на рисунке, точка находится внутри UTM зоны 35S. Это значит, что для минимизации искажений и получения точных данных измерений, мы должны использовать UTM зона 35S в качестве системы координат.

Местоположение в координатах UTM в южном полушарии должно обозначаться номером зоны (35) и значением широты (координаты y) и значением долготы (координаты x) в метрах. Координата y — расстояние от экватора до точки в метрах.

Координата x — расстояние от центрального меридиана (долготы) используемой зоны UTM. Для UTM зоны 35S это 27 градусов восточной долготы, как показано на рисунке figure_utm_for_sa.

Кроме того, поскольку точка расположена в южном полушарии и в системе координат UTM недопустимы отрицательные значения, необходимо добавлять так называемый сдвиг на север в 10,000,000 метров к координате y и сдвиг на восток в 500,000 метров к координате х.

Это звучит сложно, поэтому рассмотрим пример того, как определить корректные координаты в UTM 35S для точки интереса.

Рассматриваемое нами место находится в 3,550,000 метрах к югу от экватора, поэтому координата у получает отрицательное значение и составляет -3,550,000 метров. В соответствии с описанием системы координат UTM мы добавляем сдвиг на север в 10,000,000 метров. Это значит, что координата у составляет 6,450,000 метров (-3,550,000 м + 10,000,000 м).

Сначала необходимо определить центральный меридиан для UTM зоны 35S. Как видно на рисунке figure_utm_for_sa это 27 градусов восточной долготы. Искомая нами точка 85,000 метров на Запад от центрального меридиана.

Также как и значение широты (у), координата х получает отрицательное значение -85,000 м. В соответствии с описанием системы координат UTM мы добавляем значение сдвиг на восток 500,000 м. Это означает, что значение х (долгота) наших координат равно 415,000 м (-85,000 м + 500,000 м).

Наконец, мы добавляем номер зоны к значению долготы, чтобы получить корректное значение.

В результате, координаты нашей Точки интереса, в значениях системы координат UTM зона 35S будут выглядеть следующим образом: 35 415,000 м В / 6,450,000 м С. В некоторых ГИС, когда правильно указана проекция UTM зона 35S и единицы измерения в метрах, номер зоны можно убрать и записать пару координат в более простом виде 415,000 6,450,000.

Как вы, вероятно, может себе представить, возможна ситуация когда данные, которые вы хотите использовать в ГИС, спроецированы в различных системах координат.

Например, у вас может быть векторный слой границ Южной Африки в UTM 35S и другой векторный слой с информацией о замерах объема осадков, в географической системе координат WGS 84.

В ГИС эти два векторных слоя отобразятся в совершенно разных местах окна карты, потому что они имеют разные проекции.

Для решения этой проблемы, многие ГИС предоставляют функцию, называемую перепроецирование «на лету».

Это означает, что вы можете задать определённую проекцию в начале работы с ГИС и все слои, которые будут загружаться в дальнейшем — неважно, какие системы координат они используют, будут автоматически отображаться в определённой вами проекции.

Эта функциональность позволяет вам совмещать слои в окне карты вашей ГИС, даже несмотря на различные системы координат данных.

Тема картографическая проекция очень сложная и даже профессионалы-географы, геодезисты зачастую испытывают сложности с правильным определением проекций карт и систем координат. Обычно, если работаете в ГИС, у вас уже есть спроецированные данные для начала работы.

В большинстве случаев, эти данные будут перепроецироваться в определённую систему координат, поэтому не возникнет необходимости создавать новую систему координат или вручную перепроецировать данные в другую систему координат.

Тем не менее, всегда полезно знать что такое проекция карты и система координат.

Подведём итоги:

  • Проекция карты изображает поверхность Земли на двухмерном, плоском листе бумаги или экране компьютера.

  • Существую мировые проекции карт, но большинство проекций созданы и оптимизированы для проецирования малых площадей поверхности Земли.

  • Картографические проекции никогда абсолютно точно не передают сферическую поверхность Земли. Существуют искажения углов, длин и площадей. Невозможно одновременно корректно отображать все эти характеристики с помощью проекции карты.

  • Система координат (CRS) определяет, с помощью координат, каким образом двухмерная,спроецированная карта соотносится с реальной местностью на поверхности Земли.

  • Существуют два различных типа систем координат: Географические системы координат и Системы координат проекций.

  • Перепроецирование «на лету» — функция ГИС, которая позволяет совмещать слои, даже если они имеют различные системы координат.

Вот некоторые идеи для заданий:

  • Запустите QGIS и загрузите два слоя с данными по одной территории, но с разными проекциями; определите координаты одного и того же места в двух слоях. Вы увидите, что нельзя разместить два слоя один над другим.

    Затем задайте систему координат Географические системы координат/WGS 84 в диалоговом окне Параметры — Система координат и выберите пункт Включить перепроецирование при добавлении слоёв в другой системе координат.

    Снова загрузите два слоя с данными по одной территории и посмотрите, как работает перепроецирование «на лету».

  • В диалоговом окне Параметры — Система координат QGIS можно ознакомиться с другими системами координат. С функцией перепроецирования ‘на лету’ можно увидеть как выглядят данные в разных системах координат, просто меняя ее в настройках.

Если компьютер недоступен, три типа проекций можно рассмотреть с помощью глобуса и листа бумаги. А с помощью прозрачного листа и карты можно ознакомиться с двухмерными системами координат, осями Х и Y.

Следующий раздел посвящен созданию карт.

Источник: https://docs.qgis.org/2.14/ru/docs/gentle_gis_introduction/coordinate_reference_systems.html

Refy-free
Добавить комментарий