Секция математика признаки делимости чисел

Математическая секция Построение признаков делимости чисел

Секция математика признаки делимости чисел

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Отдел образованияадминистрации муниципального района

«Баймакский район»

Математическаясекция

Построение признаковделимости чисел

Выполнил:Кулешов Богдан,

ученик 6б класса

МОУ СОШ №3г. Баймака.

Научныйруководитель:

учитель математики

МОУ СОШ №3г. Баймака

Мурзабаева Ф.М.

2007

Оглавление.

1.Вводная часть. Делимость-главное свойствотеории чисел.

2. Классификацияпризнаков делимости.

3. Методы построения признаков делимостичисел.

1)Определение признака делимости на число по делимости чисел виданаэто число.

2)Метод сравнений.

3) Метод Паскаля.

4) Метод построенияпризнаков делимости по малой теоремеФерма.

5) Признаки делимостисоставных чисел.

4. Примененияпризнаков делимости в числовых фокусах.

5. Выводы изаключение.

Теория чисел – разделматематики, в котором изучаются свойствачисел. Основной объект теории чисел –натуральные числа. Главное их свойство,которое рассматривает теория чисел,это делимость.

Признаки делимости чисел можноклассифицировать следующим образом:

1. Признаки делимости по последнимцифрам чисел.

Рассмотрим методыпостроения признаков делимости попоследним цифрам натуральных чисел:

Есличисло ,делится на какое–либо натуральноечисло, то и число , делится на это число.

Признак делимостина 2. Число делитсяна 2, если его последняя цифра — ноль илиделится на 2.

10 делится на 2,значит и 100,1000,..делятся на 2. Тогда число делится на 2,если его последняя цифра — ноль илиделится на 2.

Признак делимости на 10Число делится на 10, еслиего последняя цифра — ноль.

10 делится на 10, значит и 100, 1000,…делятся на 10. Получается, число делитсяна 10, если его последняя цифра – ноль.

Аналогично доказываются следующиепризнаки делимости.

Признак делимости на 5.Число делится на 5, если оно оканчиваетсяна цифры 0 и 5.

Признак делимости на 100.Число делится на 100, еслидве его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000.Число делится на 1000, еслитри его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Числоделится на 4, если двеего последниецифры — нулиили образуют число, которое делится на4.

Доказательство:

100, 1000, 10 000,…- все эти числаделятся на 4 без остатка. Значит,число делится на 4, еслидве егопоследниецифры — нулиили образуют число, которое делится на4.

Признак делимости на 8. Числоделится на 8, если триего последниецифры — нулиили образуют число, которое делится на8.

Доказательство:

1000, 10 000,…- все эти числа делятсяна 8 без остатка. Значит,число делится на 8, еслитри егопоследниецифры — нулиили образуют число, которое делится на8.

Признак делимостина 25. Числоделится на 25, если двеего последниецифры— нули или образуют число, которое делитсяна 25.

Доказательство:

100, 1000, 10 000,…- все эти числаделятся на 25 без остатка. Значит,число делится на 25, еслидве егопоследниецифры — нулиили образуют число, которое делится на25.

Признак делимости на 125.

Доказательство:

1000, 10 000, 100 000,…-все эти числаделятся на 125 без остатка. Значит, числоделится на 125, если три его последниецифры нули или образуют число, котороеделится на 125.

2. Признаки делимости чисел посумме цифр чисел.

Для построения таких признаковделимости нам необходим анализостатков при делении чиселвида ,наданное число.

Метод Паскаля.Оно обосновано на признакеПаскаля.

Блез Паскаль(родился в 1623 году) — один из самыхзнаменитых людей в истории человечества.Паскальумер, когдаему было 39 лет, но, несмотря на столькороткую жизнь, вошел в историю каквыдающийся математик, физик, философ иписатель. Его именем названы единицадавления (паскаль) и весьма популярныйсегодня язык программирования.

Но научные интересыБлеза Паскаля не ограничивались созданиемкалькулятора: он нашёл общий алгоритмдля нахождения признаковделимостилюбого целого числа на любое другоецелое число,способ вычисления биномиальныхкоэффициентов, сформулировал рядосновных положений элементарной теориивероятностей.

Признак Паскаля.

Если сумма остатков приделении числа по разрядам на число делится на ,то и число делится на .

Признаки делимости на 3 и 9. 

Число делится на 3, если его суммацифр делится на 3. Числоделится на 9, если его суммацифр делится на 9.

Доказательство:

1, 10, 100, 1000, … приделении на 3, на 9 дают в остатке единицу.

Значит, числоделится на 3, если его суммацифр делится на 3. Числоделится на 9, если его суммацифр делится на 9.

Признак делимости на 11. На11 делятся только те числа, у которыхсумма цифр,стоящих на нечётных местах,либо равна сумме цифр, стоящих на чётныхместах, либо отличаетсяот неё на число, делящееся на 11.

Доказательство:

10=11-1, недостаток 1;

100=11·9+1, избыток 1;

1000=11·91-1;

10 000=11·909+1,

100 000=11·9091-1,

1000 000= 11·90909+1.

Надо найти сумму всех остатковпо разрядам числа.

Значит, на 11 делятся только течисла, у которых сумма цифр,стоящих на нечётных местах,либо равна сумме цифр, стоящих на чётныхместах, либо отличаетсяот неё на число, делящееся на 11.

Пример. Делится ли число 865 948 732 на 11?

8+5+4+7+2=26;

6+9+8+3=26; 26-26=0

Можно получить еще один признакделимости на 11.

Признак делимости на 11.Если сумма, составленная при разбиваниичисла справа налево на группы по двецифры, делится на 11, то и число делитсяна 11.

Доказательство:

100=11·9+1, избыток в 1;

10 000=11·909+1,

1000 000= 11·90909+1.

Число делится на 11, если сумма,составленная при разбивании числасправа налево на группы по две цифры,делится на 11.

Пример. 2 37 84 95 68.

2+37+84+95+68=286.

2+86=8811

Развитие этой идеи построенияделимости привело к понятию «сравнения»в математике.

Метод сравнений.

Два целых числа, разность которыхкратна данному натуральному числу m,называются сравнимыми помодулю m.

Утверждение «»обычно записывают и называют сравнениями.

Например: есть разность (5-1) кратна 2.

Построим признаки делимости пометоду сравнений.

Построение признаков делимостипо методу сравнений обосновано на делении с остатком чисел вида на заданное число и анализе сумм остатков.

Признак делимости на 3, на 9.

Любое число можно представить Так как , Поэтому.Значит, делится на 3 в том, и только в том, случае,если сумма его цифр делится на 3.

Аналогично доказывается признакделимости на 9.

Признак делимости на 37.

Если разбить десятичную записьчисла справа налево на группы по 3 цифры,сложить эти числа и сумма их делитсяна 37, то и число делится на 37.

Такой способ построения признаковделимости оказался очень громоздким,требует больших математических расчетов.

Метод построения признаковделимости по малой теореме Ферма.

Больше всего французскогоматематика Пьера Фермапрославили его работы по теории чисел.И именно с работ Ферма началась новаяматематическая наука – теория чисел.«Меня озарило ярким светом» — писалФерма, впервые сообщив о своем открытиив письме (1640). В самом деле, эта его теоремастала одним из самых фундаментальныхфактов в теории делимости натуральныхчисел.

Малая теорема Ферма.

Если p-простоечисло, -натуральное число, не делящееся на p.То при делении на pдает остаток 1.

Признак делимостина 17. Таккак 17-число простое, 10 – натуральное,не делящееся на 17, то число при делении на 17 дает остаток 1.

Проверим и число .Оно при делении на 17 дает недостачу в1. Значит, число делится на 17, если разбить его десятичную запись справаналево на группы по 8 цифры в каждой ивзять группы с нечетными номерами сознаком минус, с нечетными номерами сознаком плюс, и значение выражения будетделиться на 17, то и число делится на 17.

Признак делимостина 19. 19-простое, 10-натуральное число, не делящеесяна 19. то число при делении на 19 дает остаток 1, а числодает недостачу в 1. В этом случае числонадо разбить в группы справа налево по9 цифр.

Заметим, в некоторыхслучаях необходимо проверить и меньшиестепени.

Например, 11 – простоечисло. Тогда дает при делении на 11 остаток 1. Но и 100делится на 11 с остатком равным 1. Здесьуже лучше разбит число в группы по двецифры, что упрощает проверку делимостина 11.

Каково бы не былопростое число p,отличное от 2 и 5, всегда можно указатьчисло. Составленное из одних девяток –999…00, — что оно будет делиться на p.Так на 3 делится 9, на 7 – 999 999, на 11 –99, на 13 – 999 999. Чтобы получить число,делящееся на 17, придется взять 16 девятоки т.д. Это все использование малой теоремыФерма.

Метод разложения на множители.

Признаки делимости на 7 и на13.

Если разбить десятичную записьчисла справа налево на группы по 3 цифрыи взять группы с нечетными номерами сознаком минус, а с четными со знаком плюси значение выражения делится на 7 илина 13, то и число делится на 7 или на 13.

Доказательство:

Заметим, что 7·11·13=1001.

Но 1000=1001-1,

1000 000= 1001·999+1,

1 000 000 000 =1001·999 001-1 ит.д. Значит, если разбить десятичнуюзапись числа справа налево на группыпо 3 цифры и взять группы с нечетныминомерами со знаком минус, а с четнымисо знаком плюс и значение выраженияделится на 7 или на 13, то и число делитсяна 7 или на 13.

Признаки делимости на 73 и на137.

Если разбить десятичную записьчисла справа налево на группы по 4 цифрыи взять группы с нечетными номерами сознаком минус, а с четными со знаком плюси значение выражения делится на 73 илина 137, то и число делится на 73 или на 137

Доказательство:Заметим, что 73·137=10 001.

Но 10 000=10 001-1,

100 000 000=10 001·999+1.

1000 000 000 000= 10 001·999 001-1. ит. д.

Значит, если разбить десятичнуюзапись числа справа налево на группыпо 4 цифры и взять группы с нечетныминомерами со знаком минус, а с четнымисо знаком плюс и значение выраженияделится на 73 или на 137, то и число делитсяна 73 или на 137.

Признаки делимости составныхчисел.

Признаки делимости составныхчисел строятся на признаках делимостипростых чисел, на которые можно разложитьлюбое составное число.

 Признакделимости на 6. Числоделится на 6, если оно делится на 2 и на  Признакделимости на 14.Числоделится на 14, если оно делится и на 2, ина 7.

В некоторых случаях для составныхчисел можно получить признак делимостис использованием вышеперечисленныхметодов. Например:

Признак делимостина 33.Метод сравнений.

Если сумма, составленная приразбивании числа справа налево на группыпо две цифры, делится на 33, то и числоделится на 33.

Признаки делимостиприменяются в различных числовыхфокусах:

1) Признакделимости на 7, 11, 13 используется приследующем числовом фокусе. Предложитьдрузьям загадать трехзначное число иприписать к нему его же еще раз. Попроситьих разделить полученное шестизначноечисло на 7. Это число нацело разделитсяна 7. Затем предложит полученное числоразделить на 11, а результат – на 13. Кудивлению друзей, они получат в результатезагаданное им число.

2) Можно так же использоватьпризнак делимости на 73 и 137. Предложитьдрузьям загадать пятизначное число иприписать к нему его же еще раз. Попроситьих разделить полученное десятизначноечисло на 137. Затем предложить полученноечисло разделить на 73. К удивлению друзей, получится в результате загаданное имчисло.

Выводы: Знаяметоды исследований признаков делимостинатуральных чисел можно сформулироватьпризнаки делимости любых натуральныхчисел.

Признаки делимости частоиспользуются при решении олимпиадныхзадач, при нахождении общего знаменателядробей, в алгебре – при решении уравненийв целых числах (диофантовы уравнения).

Чем особенна и ценнатеория чисел? Ведь найти непосредственноеприменение результатам трудно. Тем неменее, задачи теории чисел привлекаюткак пытливых молодых людей, так и ученыхв течение многих столетий.

В чем же здесьдело? Прежде всего, эти задачи оченьинтересны и красивы. Во все временачеловека поражало, что на простые вопросыо числах так трудно найти ответ.

Поискиэтих ответов часто приводили к открытиям,значение которых далеко превосходитрамки теории чисел.

Используемаялитература.

1. Энциклопедический словарьюного математика.

Савин А.П. Москва «Педагогика»1989.

2. За страницами учебникаматематики. 10-11 классы.

Н.Я. Виленкин. Москва «Просвещение»1996.

3. Алгебра для 8 класса. Подредакцией Н.Я. Виленкина. Москва«Просвещение» 1995.

4. Интернет ресурсы.

Источник: https://gigabaza.ru/doc/100080.html

Признаки делимости

Секция математика признаки делимости чисел

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17).

Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15.

поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 18

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5

Признак делимости на 21

Число делится на 21 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 3

Признак делимости на 22

Число делится на 22 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 11

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 24

Число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 26

Число делится на 26 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 13

Признак делимости на 28

Число делится на 28 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 7

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится на 10 и на 3

Признак делимости на 34

Число делится на 34 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 17

Признак делимости на 35

Число делится на 35 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 7

Признак делимости на 36

Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 9

Признак делимости на 38

Число делится на 38 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 19

Признак делимости на 39

Число делится на 39 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 13

Признак делимости на 40

Число делится на 40 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 8

Признак делимости на 42

Число делится на 42 тогда и только тогда, когда оно делится на 6 и на 7

Признак делимости на 44

Число делится на 44 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 11

Признак делимости на 45

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n — 1.

Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

Источник: https://LyudmilaNik.com.ua/formulas/priznaki-delimosti/

Справочник по математике: признаки делимости

Секция математика признаки делимости чисел

Как известно, соответствующий раздел в школьном учебнике по математике (6 класс) представлен в весьма упрошенном урезанном виде. Здесь Вы найдете полный список признаков делимости на числа до 13 и 25.

Я специально подправил некоторые из них для того, чтобы репетитор по математике мог рассказать их в 6 классе без использования аппарата отрицательных чисел.

Признаки разбиты на группы по характеру проверок делимости без знакомой каждому репетитору конкретики с перечислением вариантов окончаний (в делимости на 2, на 5, на 10 и 25). Это сделано для наилучшего запоминания и учеником соответствующей классификации.

Классификация репетитора по математике признаков делимости

По последним цифрам числа

По одной последней цифре:

На 2.  Если последняя цифра числа кратна 2 (четная), то число делится на 2.

На 5.  Если последняя цифра делится на 5, то и число делится на 5

На 10. Если последняя цифра делится на 10 (иными словами она должна быть нулем) , то и число делится на 10.

По двум последним цифрам

На 4. Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 4, то и исходное число делится на 4

На 25.  Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 25, то и исходное число поделится на 25.

По трем последним цифрам

На 8. Если последние 3 цифры образуют число, которое делится на 8, то и исходное число разделится на 8

По сумме цифр или классов

На 3.  Если сумма цифр числа разделилась на 3, то и исходное число разделится на 3

На 9. Если сумма цифр разделилась на 9, то и исходное число разделится на 9

На 11. Пронумеруем разряды числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не принципиально). Найдем сумму цифр, стоящих на четных местах. Затем найдем сумму цифр с нечетных мест. Если разность этих сумму будет делиться на 11, то и исходное число будет кратно 11.

Пример: делится ли на 11 число ?
Сумма цифр на четных местах
Сумма на нечетных
Найдем разность . Она не делится на 11, поэтому и не делится на 11.

На 7.  Пронумеруем классы у числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не важно)
Найдем сумму трехзначных чисел, соответствующих классам на четных местах, и сумму трехзначных чисел, взятых из классов с нечетными местами. Если разность этих сумм поделится на 7, то и начальное число поделится на 7.

Пример: делится ли на 7 число ?
Сумма чисел из классов на четных местах
Сумма на нечетных
Разность этих сумм  — не делится на 7.
Значит и не делится на 7.

Аналогичный признак делимости есть и на число 13. Если разность сумм классов (как из предыдущего признака) разделится на 13, то и начальное число обязано поделиться на 13.

Такую же «классовую» проверку можно проводить и с делимостью на 11.

Замечание репетитора:
Единство признаков на 7, 11 и 13 происходит от особенностей разложения на простые множители у числа

Дополнительный признак на 13:
Отрежем последнюю цифру у числа и добавим у получившемуся результату учетверенную отрезанную цифру. Если получившийся результат сможет разделиться на 13, то и начальное число обязательно поделится на 13.

Доказательство:

Очевидно, что вычитаемое делится на 13, поэтому делимость разности зависит от уменьшаемого. Поскольку 10 не имеет в разложении на простые множители числа 13, то уменьшаемое поделится на 13 только тогда, когда поделится сумма Что и требовалось обосновать.

Если Вам не достаточно короткого объяснения этого признака — к Вашим услугам репетитор по математике.

Дополнительный признак на 7:
Стандартно пронумеруем классы как было описано выше в других признаках.

Для каждого из них составим сумму с использованием чисел 1, 3 и 2 в порядке «прикрепления» их к разрядным цифрам каждого класса «справа налево».

Найдем сумму таких сумм, образованных классами с четными номерами и сумму сумм, образованных нечетными классами. Если разность этих сумм делится на 7, то и первоначальное число делится на 7.

Бонус от репетитора по математике: аналогично признаку на 13, в котором отрезается последняя цифра, имеется признак на 7: число разделится на 7, если разность числа без его последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7. Например число 609 кратно 7 так как на 7 разделится число

Если Вам нужна олимпиадная практика решения задач на делимость — обратитесь к квалифицированному репетитору, имеющему соответствующий опыт объяснений и планирования уроков на дополнительные темы и разделы школьного курса.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич. Олимпиадная практика по математике в Строгино.

Справочник репетитора, Элементарная математика

Источник: https://ankolpakov.ru/2015/09/22/spravochnik-po-matematike-priznaki-delimosti/

Признаки делимости натуральных чисел

Секция математика признаки делимости чисел

Районная научно-исследовательская конференция школьников Лахденпохского муниципального района

«Шаг в будущее»

Проект по математике на тему:

«Признаки делимости натуральных чисел»

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева

Лариса Владимировна

учитель математики

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

2014 г.

  1. Введение 3 стр.

  2. Из истории математики 4 стр.

  3. Основные понятия 4 стр.

  4. Классификация признаков делимости: 5 стр.

    1. Делимость чисел определяется по последней(им) цифре(ам) 5 – 6 стр.

    2. Делимость чисел определяется по сумме цифр числа: 6 стр.

    3. Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа 6 — 9 стр.

    4. Для определения делимости числа используются другие признаки 9 – 10 стр.

  5. Применение признаков делимости на практике 10 – 11 стр.

  6. Заключение 11 стр.

  7. Библиографический список 12 стр.

Актуальность исследования: Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость.

Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа.

В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости.

Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Цель исследования– дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

  • Самостоятельно исследовать делимость чисел.
  • Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
  • Объединить и обобщить признаки из разных источников.
  • Сделать вывод.

Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования – признаки делимости.

Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.

Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Блез Паскаль (родился в 1623 году) — один из самых знаменитых людей в истории человечества.

Паскальумер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель.

Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число.

Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля:Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы.

  • Признак делимости — это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.
  • Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
  • Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.
  • Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

Рассмотрим более подробно каждую из этих групп.

    1. Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

Признак делимости на 2: число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например: 32217864 : 2

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например,  35324 : 4; 6600 : 4

Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра — 5 или 0.

Например: 36780 : 5 или 123265 : 5

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например: 432240 : 8

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная).

Например: 59640 : 20

Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например: 667975 : 25 или 7768900 : 25

Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например: 564350 : 50 или 554300 : 50

Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например: 32157000 : 125 или 3216250 : 125

Признаки делимости на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д.:на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например, 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

    1. Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например: 5421 : 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например: 653022 : 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например: 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

    1. Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Признак делимости на 6:

Признак 1: число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например, 138 : 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

Признак 2: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например, 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например, число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

Признак 2: число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например, 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

Признак 1: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Признак 2: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

Признак 1: число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например, 845 :13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Признак 2: число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например, 845 :13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например, 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

Признак 1: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Признак 2: число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 39+7·1=46  (46:23)

Признак 3: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69  (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например, 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например, 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например, 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например, 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

Признак 1: число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например, число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

Признак 2: число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например, число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

Признак 1: число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к.  ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результатбудет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например, 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например, 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например, 590547:101, т.к. ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

    1. Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа — составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6:

Признак 1: число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например, 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12: число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5.

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9.

Например, 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например, 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например, 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620 : 4 т.к. две последние цифры 20:4

  1. Применение признаков делимости на практике

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Задача № 1. Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

  1. число, которое делиться на 10;

  2. четное число;

  3. число, кратное 5;

  4. нечетное число

Задача № 2

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 1.

  1. Напишите наибольшее из таких чисел.

  2. Напишите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 3

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4

Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… — числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… — числа, кратные 9.

Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе.

Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6

В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ — тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких рабо

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42.

Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек.

Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряет решение многих задач.

И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе.

Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

Библиографический список:

  1. Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.

  2. Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.

  3. За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.

  4. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

  5. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.

  6. Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.

  7. Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. — Москва. 2003г.

  8. Интернет ресурсы.

13

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/meropriyatia/priznaki-dielimosti-natural-nykh-chisiel

Реферат: Секция математика признаки делимости чисел

Секция математика признаки делимости чисел

Министерство образования и науки Российской Федерации

Управление образования и науки Кудымкарского муниципального района

МОУ «Кувинская средняя общеобразовательная школа»

Конкурс учебной – исследовательских работ учащихся

Секция математика

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

Работу выполнила

ученица 8-ого класса

Трошева Наталья.

Руководитель:

Копытова Н.Г.,

учитель математики

2009г.

Введение………………………………………………………………………3-5

Из истории…………..……………………………………………………..…6-8

Признаки делимости чисел:

1. Признаки делимости на 2…………………………………..……………9

2. Признаки делимости на 3…………………………………………….…9

3. Признаки делимости на 4……………………………………………….9

4. Признаки делимости на 5……………………………………………….9

5. Признаки делимости на 6…………………………………………….9-10

6. Признаки делимости на 7………………………………………………10

7. Признаки делимости на 8………………………………………………10

8. Признаки делимости на 9………………………………………………10

9. Признаки делимости на 10…………………………………………10-11

10. Признаки делимости на 11……………………………………………11

11. Признаки делимости на 12……………………………………………11

12. Признаки делимости на 13…………………………………………….12

13. Признаки делимости на 14……………………………………………12

14. Признаки делимости на 15…………………………………………….12

15. Признаки делимости на 19…………………………………………12-13

16. Признаки делимости на 25…………………………………………….13

17. Признаки делимости на 50…………………………………………….13

Заключение…………………………………………………………………….14

Библиографический список………………………………………………15-16

Приложения………………………………………………………………..16-18

Введение

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Д. Пойа

В арифметике много разделов и один из них — делимость чисел.

При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник интерес к исследованию чисел на делимость.

Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Признак делимости — это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

— О, мудрец!- сказал старший брат. — Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

— Нет ничего проще, — ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

— О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

— Это не лишний, — сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования – нахождение признаков делимости.

Цель исследования – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким решениям и выводам.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать вывод.

Гипотеза: исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

Работа имеет практическое применение . Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Из истории математики о делимости чисел

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623.

Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра.

Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году.

За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля». Умер Паскаль в Париже в 1662 году.

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Делители и кратные .

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простые и составные числа.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.

Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Делимость чисел обладает свойствами :

1. Если а и р — натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.

Например 15и 11. 15и5.

2.Если М- общее кратное а и b, а т — их наименьшее общее кратное, то М делится на т.

Например, 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.

3. Рефлексивность : если а делится на b, то и bделится на а.

Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо

4. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится на с.

Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.

Признаки делимости на 2

Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.

Например:

В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, значит, число делится на 2.

Признаки делимости на 3

Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы

сумма его цифр делилась на 3.

Например:

513 – 5+1+3=9, значит, число делится на 3.

Признаки делимости на 4

Чтобы число делилось на 4 надо

проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:

1836 – 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.

Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями.

Например: 5500

Признаки делимости на 5

Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на

5 или на 0.

Например:

245 делится на пять.

Признаки делимости на 6

Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:

1) Число сотен умножить на 2,

2) Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.

Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Например:

138 – число сотен 1*2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.

Признаки делимости на 7

Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:

1. Число, стоящее до десятков умножить на два,

2. К результату прибавить оставшееся число.

3. Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:

4690 — 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.

Признаки делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр

делится на 8.

Например:

6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.

Признаки делимости на 9

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно,

чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Например:

598455 – 5+9+8+4+5+5=36:9=4

Признаки делимости на 10

Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0.

Например:

33312890 – делится на 10.

Признаки делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.

Испытаем число 100397.

Нумерация идет слева направо.

1+0+9=10

0+3+7=10

10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Например, испытаем число 15235.

Разбиваем на группы

и складываем их:

1+52+35=88.

88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признаки делимости на 12

Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 — делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Например:

858 делится на 13, так как делится на 13.

Признаки делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Пример:

Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

Признаки делимости на 15

Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Например:

1146795 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.

Признаки делимости на 19

Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

1 0 2 6

1 2

1 1 4

8

1 9

Числа кратные 19 всегда делятся на 19.

19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..

Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

Признаки делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:

Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.

Признаки делимости на 50

Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.

Например:

6957200 , 67906850 .

Заключение

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.

Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.

Учителям — с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел

Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

· более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел

· подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.

Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

Библиографический список

· И. Я. Депман «История арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение»

· Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982 «Просвещение»

· «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»

· «Математика» Москва 1999 «Первое сентября»

· «Математика» Москва 2000 «Первое сентября»

· «Математика» Москва 2002 «Первое сентября»

· «Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс». – М.: Просвещение, 1979.

· «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра»/ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом – 5-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

· «Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов»/ К. П. Сикорский – издание 2-е, исправленное и дополнительное – М.: «Просвещение», 1974.

· Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

· Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, — М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

· Воробьев КН., Признаки делимости, издательство
«Наука», 1974.

· Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.

· Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва,
издательство «Наука», 1988.

· 1.И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.

· 2. М. Б. Гельфанд, В.С. Павлович «Внеклассная работа по математике в 8-летней школе» М. Просвещение. 1965 г. стр.37.

· Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г. стр.40.

· Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.

· Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.

· Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.

· Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

Приложения

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» — две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Задача № 2.

Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

А) число которое делиться на 10;

Б) четное число;

В) число, кратное 5;

Г) нечетное число.

Задача № 3

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 4

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

(Нужно знать признак делимости на 11).

Ответ: 987652413

102347586

Задача № 5

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.

Задача № 6

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Задача № 7

Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 333³³³?

Ответ: цифрой 3.

Задача № 8.

Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Задача № 9.

Числа Р; Р² + 4; Р² + 6 простые. Найдите Р.

Ответ: Р=5.

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-398355.html

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком.Признаки делимости

Секция математика признаки делимости чисел

Справочник по математикеАрифметикаДелимость и деление с остатком
Делимость натуральных чисел.

Деление с остатком

Признаки делимости

      Определение 1.

Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится начисло   b.

      Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

      Определение 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c  и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называется делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .  

     Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

     Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

     Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

     Определение 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

      Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости наФормулировкаПример
2Число должно оканчиваться четной цифрой:
0 , 2 , 4 , 6 , 8
1258
3Сумма цифр числа должна делиться на   3745 ,
(7 + 4 + 5 = 15)
4Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   47924
5Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5835
6Число должно делиться на   2   и на   3234 ,
(2 + 3 + 4 = 9)
7На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой3626 ,
(362 – 12 = 350)
8Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   863024
9Сумма цифр должна делиться на   92574 ,
(2 + 5 + 7 + 4 = 18)
10Число должно оканчиваться   01690
11Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   111408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ;

12 – 1 = 11)

13На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой299 ,
(29 + 36 = 65)
25Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   757975
50Число должно оканчиваться на   00   или   502957450
100Число должно оканчиваться на   00102300
1000Число должно оканчиваться на   0003217000
Признак делимости на 2

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться четной цифрой:
0 , 2 , 4 , 6 , 8

Пример:

1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака:

Сумма цифр числа должна делиться на   3

Пример:

745 ,
(7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака:

Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4

Пример:

7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5

Пример:

835

Признак делимости на 6

Формулировка признака:

Число должно делиться на   2   и на   3

Пример:

234 ,
(2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака:

На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой

Пример:

3626 ,
(362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака:

Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8

Пример:

63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака:

Сумма цифр должна делиться на   9

Пример:

2574 ,
(2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться   0

Пример:

1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака:

Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11

Пример:

1408 ,(4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ;

12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака:

На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой

Пример:

299 ,
(29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75

Пример:

7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00   или   50

Пример:

2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00

Пример:

102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   000

Пример:

3217000

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/gia/giaintrusprice.htm

Refy-free
Добавить комментарий