Применение криволинейных интегралов в физике

Физические приложения криволинейных интегралов

Применение криволинейных интегралов в физике
С помощью криволинейных интегралов вычисляются

  • Масса кривой;
  • Центр масс и моменты инерции кривой;
  • Работа при перемещении тела в силовом поле;
  • Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
  • Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой \(C.\) Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью \(\rho \left( {x,y,z} \right).\) Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода \[m = \int\limits_C {\rho \left( {x,y,z} \right)ds} .\] Если кривая \(C\) задана в параметрическом виде с помощью векторной функции \(\mathbf{r}\left( t \right) = \left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right),\) то ее масса описывается формулой \[ m = {\int\limits_\alpha \beta {\rho \left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}2} + {{\left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right)}2}} dt} .} \] В случае плоской кривой, заданной в плоскости \(Oxy,\) масса определяется как \[m = \int\limits_C {\rho \left( {x,y} \right)ds}\] или в параметрической форме \[ m = {\int\limits_\alpha \beta {\rho \left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}2}} dt} .} \]

Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой \(C,\) а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности \(\rho \left( {x,y,z} \right).\) Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами \[\bar x = \frac{{{M_{yz}}}}{m},\;\;\bar y = \frac{{{M_{xz}}}}{m},\;\;\bar z = \frac{{{M_{xy}}}}{m},\] где \[ {{M_{yz}} = \int\limits_C {x\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{M_{xz}} = \int\limits_C {y\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{M_{xy}} = \int\limits_C {z\rho \left( {x,y,z} \right)ds} } \] − так называемые моменты первого порядка.

Моменты инерции относительно осей \(Ox, Oy\) и \(Oz\) определяются формулами \[ {{I_x} = \int\limits_C {\left( {{y2} + {z2}} \right)\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{I_y} = \int\limits_C {\left( {{x2} + {z2}} \right)\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{I_z} = \int\limits_C {\left( {{x2} + {y2}} \right)\rho \left( {x,y,z} \right)ds} .} \]

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле \(\mathbf{F}\) вдоль кривой \(C\) выражается через криволинейный интеграл второго рода \[W = \int\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} ,\] где \(\mathbf{F}\) − сила, действующая на тело, \(d\mathbf{r}\) − единичный касательный вектор (рисунок \(1\)). Обозначение \({\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}\) означает скалярное произведение векторов \(\mathbf{F}\) и \(d\mathbf{r}.\) Заметим, что силовое поле \(\mathbf{F}\) не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы \(\mathbf{F}\) иногда может оказаться отрицательной. Если векторное поле задано в координатной форме в виде \[\mathbf{F} = \left( {P\left( {x,y,z} \right),Q\left( {x,y,z} \right),R\left( {x,y,z} \right)} \right),\] то работа поля вычисляется по формуле \[W = \int\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \int\limits_C {Pdx + Qdy + Rdz} .\] В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой \(C\) в плоскости \(Oxy,\) справедлива формула \[W = \int\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \int\limits_C {Pdx + Qdy},\] где \(\mathbf{F} = \left( {P\left( {x,y} \right),Q\left( {x,y} \right)} \right).\) Если траектория движения \(C\) определена через параметр \(t\) (\(t\) часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид \[ W = {\int\limits_\alpha \beta {\left[ {P\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\frac{{dx}}{{dt}} + Q\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\frac{{dy}}{{dt}} + R\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\frac{{dz}}{{dt}}} \right]dt} ,} \] где \(t\) изменяется в интервале от \(\alpha\) до \(\beta.\)

Если векторное поле \(\mathbf{F}\) потенциально, то работа по перемещению тела из точки \(A\) в точку \(B\) выражается формулой \[W = u\left( B \right) — u\left( A \right),\] где \(u\left( {x,y,z} \right)\) − потенциал поля.

Рис.1Рис.2

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией \(\mathbf{B}\) вдоль замкнутого контура \(C\) пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром \(C\) (рисунок \(2\)). Это выражается формулой \[\int\limits_C {\mathbf{B} \cdot d\mathbf{r}} = {\mu _0}I,\] где \({\mu _0}\) − магнитная проницаемость ваккуума, равная \(1,26 \times {10{ — 6}}\,\text{Н/м}.\)

Закон Фарадея

Электродвижущая сила \(\varepsilon,\) наведенная в замкнутом контуре \(C,\) равна скорости изменения магнитного потока \(\psi,\) проходящего через данный контур (рисунок \(3\)). \[\varepsilon = \int\limits_C {\mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}} = — \frac{{d\psi }}{{dt}}.\]

Рис.3

Источник: http://www.math24.ru/%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2.html

Применение криволинейных интегралов в физике

Применение криволинейных интегралов в физике

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Рассмотримна плоскости или в пространстве кривуюL и функцию f, определенную в каждой точкеэтой кривой. Разобьем кривую на частиΔsi длиной Δsi и выберем на каждой изчастей точку Mi. Составим интегральнуюсумму  .Назовем λ длину наибольшего отрезкакривой.

Определение10.1. Если существует конечный пределинтегральной суммы ,не зависящий ни от способа разбиениякривой на отрезки, ни от выбора точекMi, то он называется криволинейныминтегралом первого рода от функции f покривой L и обозначается

            .                                 (10.1)

Например,если функция f(M) задает плотность в точкеМ, то интеграл (10.1) равен массерассматриваемой кривой.

                     Свойства криволинейногоинтеграла 1-го рода.

  1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

  2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

                                                                                (10.2)

Справедливостьэтих свойств следует из определениякриволинейного интеграла 1-го рода.

             Способ вычислениякриволинейного интеграла 1-го рода.

Выберемна кривой L направление от начальнойточки А и отметим, что положение точкиМ на кривой определяется длиной дугиАМ = s. Тогда кривую L можно задатьпараметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), гдеФункцияf(x,y,z) становится при этом сложной функциейодной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогдаинтегральная сумма

           ,

где-координата точки Mi, является обычнойинтегральной суммой для определен-ногоинтеграла Следовательно,

             =                                                       (10.3)

Еслиже кривая L задана в параметрическойформе:

     x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),      t0 ≤ t ≤ T,  

то,применяя в интеграле (10.3) формулу заменыпеременной и учитывая, что дифференциалдуги

получим:

                   (10.4)

Такимобразом, вычисление криволинейногоинтеграла 1-го рода сводится к вычислениюобычного определенного интеграла отфункции переменной t в пределах,соответствующих изменению значенияэтой переменной на рассматриваемойкривой.

Пример.

ВычислитьгдеL: Применяяформулу (10.4), получим:

            Криволинейный интегралвторого рода.

Вновьрассмотрим кривую L, в каждой точкекоторой задана функция f(M), и зададимразбиение кривой на отрезки.

Выберемна каждом отрезке точку Mi и умножимзначе-ние функции в этой точке не надлину i-го отрезка, как в случаекриволинейного инте-грала 1-го рода, ана проекцию этого отрезка, скажем, наось Ох, то есть на разность    xi– xi-1 = Δxi. Составим из полученныхпроизведений интегральную сумму .

Определение10.2. Если существует конечный предел приинтегральнойсуммы ,не зависящий от способа разбиения кривойна отрезки и выбора точек Mi, то отназывается криволинейным интеграломвторого рода от функции f(M) по кривой Lи обозначается

                   .                          (10.5)

Подобнымобразом можно определить и криволинейныеинтегралы 2-го рода вида

Определение10.3. Если вдоль кривой L определены функцииP(M) = P(x, y, z),

Q(M)= Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

       ,

тои их сумму называют криволинейныминтегралом второго рода (общего вида)и полагают

 .          (10.6)

Замечание.Если считать, что сила действуетна точку, движущуюся по кривой (АВ), торабота этой силы может быть представленакак

                              ,

тоесть криволинейным интегралом 2-го рода.

                    Свойства криволинейногоинтеграла 2-го рода.

  1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

  1. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

                                                                               (10.7)

Действительно,при этом изменяется знак Δxi в интегральнойсумме.

        Способ вычислениякриволинейного интеграла 2-го рода.

Теорема10.1. Пусть кривая L задана параметрическимиуравнениями

                        x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),    α ≤ t ≤ β ,

гдеφ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемыефункции, и на ней задана непрерывнаяфункция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5)существует и имеет место равенство

                       .                          (10.8)

Доказательство.

ЗапишемΔxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуемпоследнюю разность по формуле Лагранжа:  φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некотороезначение t, заключенное между ti-1 и ti.Выберем точку Мi так, чтобы ее координатысоответствовали значению параметра,равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставивэти значения в формулу (10.5), получим:          

                        .

Справаполучен предел интегральной суммы дляфункции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α,β], равный определенному интегралу отэтой функции:

                        ,

чтои требовалось доказать.

Следствие.Аналогичные соотношения можно получитьдля криволинейных интегра-лов вида ,откуда следует, что

                                           (10.9)

Пример.

Вычислиминтеграл ,где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2)до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этойпрямой в параметрическом виде:

Следовательно,φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Источник: https://works.doklad.ru/view/-6pABMRk0DY.html

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры

Применение криволинейных интегралов в физике

Криволинейные интегралы — обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f(x, y) — функция двух переменных, а L — кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

  1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
  2. В каждой части свободно выбрать точку M.
  3. Найти значение функции в выбранных точках.
  4. Значения функции умножить на
    • длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
    • проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
  5. Найти сумму всех произведений.
  6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

Mi(ζi; ηi) — выбранная на каждом участке точка с координатами.

fi(ζi; ηi) — значение функции f(x, y) в выбранной точке.

Δsi — длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δxi — проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔsi — длина самой длинной части отрезка кривой.

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

.

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

.

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

.

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

.

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

.

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции fi(ζi; ηi) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл

.

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы

,

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть на плоскости задана кривая y = y(x) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b. Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(x, y) = f(x, y(x)) («игрек» должен быть выражен через «икс»), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

.

Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить x = x(y) («икс» через «игрек»), где и интеграл вычисляем по формуле

.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

где AB — отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1).

Решение. Составим уравнение прямой AB, используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x1; y1) и B(x2; y2)):

.

Из уравнения прямой выразим y через x:

.

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни «иксы»:

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

,

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — часть линии окружности

,

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая — четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3. Она соответствует значениям параметра . Так как

,

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t:

.

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t, можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Кратные и криволинейные интегралы

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0, получим , . Подставив x = 0, получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox — A(2; 0), с осью Oy — B(0; −3).

Из уравнения прямой выразим y:

.

Поэтому

, .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем:

Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — дуга параболы между точками О(0; 0) и B(2; 2).

Решение. Так как , то .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — дуга астроиды

в первом квадранте.

Решение. В первом квадранте . Определим дифференциал дуги:

Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:

Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — первая арка циклоиды

Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π. Определим дифференциал дуги:

Таким образом,

.

Подставим в криволинейный интеграл dl и y, выраженные через параметр t и получаем:

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5).

Решение. Составим уравнение прямой AB:

.

Из полученного уравнения прямой выразим «игрек»:

Поэтому и теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:

Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — первая арка циклоиды

Решение. Из уравнений кривой следует

.

Так как циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π, то получаем соответствующие пределы интегрирования. Решаем данный криволинейный интеграл:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Кратные и криволинейные интегралы

Кратные и криволинейные интегралы

с друзьями

Источник: https://function-x.ru/integral_linear.html

Приложение криволинейных интегралов к решению задач по физике — международный студенческий научный вестник (электронный научный журнал)

Применение криволинейных интегралов в физике
1 Евдокимова И.С. 1 1 ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет» Умение интегрировать функции связано не только с вычислением интеграла, но и с умением применять соответствующие знания к решению прикладных задач. В данной работе приведены задачи на применение криволинейных интегралов первого и второго рода.

При написании работы важно было разобрать основные виды прикладных задач, показать способы решения задач, дать графическое сопровождение задачи, что позволяет более точно представить объект исследования и быстро найти необходимый путь решения.

При этом графическое сопровождение задачи делает ее не только более видимой для решения, но и более интересной, ведь достаточно часто оказывается трудным найти решение еще и потому, что нет четкого представления о той фигуре, с которой связано условие задачи.

В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме. 1. Берман Г.Н.

Сборник задач по курсу математического анализа/Берман Г.Н.– М.: Наука, 1969. – 440 стр. 2. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа для втузов: Учебник для вузов./ Бермант А. Ф., Араманович И. Г.– М.: Наука, 1966. – 736 с.
3. Бохан К.А. Курс математического анализа. Т. II./Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В.– М.: издательство «Просвещение», 1966.

4. Будаев В.Д. Математический анализ для студентов-физиков. Часть 2. Дифференциальное и интегральное исчисления и их приложения/ Будаев В.Д., Василенков В.Д. – Смоленск: СГПИ, 1997.
5. Виленкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа. Ч. II.Под ред. Н.Я. Виленкина. Учебн. пособие для студентов заоч. отд-ний физ-мат. Фак. Пединститутов./Виленкин. Н.Я.

, Бохан К.А., Марон И.А.-М.,«Просвещение», 1971. 336 с. Перед загл. Авт. и др.
6. Ильин В.А. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть II: Учеб.: Для вузов. – 5-е изд./ Ильин В.А., Поздняк Э.Г. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 464 с. – (Курс высшей математики и математической физики).
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. II: Учебник. – 7-е изд.

/ Фихтенгольц Г.М.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 440 с.

Теория криволинейных интегралов представляет собой раздел математического анализа, где происходит обощение методов интегрального исчисления на вычисление интегралов по областям, которые расположены на плоскости или в пространстве.

Именно с помощью криволинейных интегралов можно высчитать длину кривой, статические моменты, координаты центра тяжести, площади плоских фигур и цилиндрической поверхности, работу переменной силы и многое другое. Поскольку приложения криволинейных интегралов очень обширны, можно сделать вывод о том, что выбранная тема является актуальной [5].

Раздел «Криволинейные интегралы» является одним из основных в курсе математического анализа, порой трудно поддающимся для глубокого усвоения и понимания изучаемого материала.

Рассмотрим ряд задач, имеющих прикладной характер:

1. Вычислить момент инерции относительно аппликаты одного витка однородной винтовой линии (Рис. 1)

Решение: По формулам, получаем

Рис. 1

Решение: Данная задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода Используя формулу вычисления момента инерции получим:

где .

2. Вычислить ньютонов потенциал окружности массой в точке плотность в любой точке окружности пропорциональна расстоянию от этой точки до оси [3].

Решение: Воспользуемся полярными координатами (рис. 2):

Рис. 2

Получаем .

Плотность линии в точке Очевидно, что нам надо подсчитать коэффициент . Вычислим массу окружности:

По формуле вычисления потенциала в некоторой точке :

получим:

Произведем замену: .

Если тогда , а если , то . Подставив все наши преобразования в формулу:

3. Вычислить работу векторного поля

вдоль правой части кривой от точки до точки [6].

Решение: Преобразуем уравнение кривой . Данное уравнение задает окружность с радиусом , с центром в точке . Точки и лежат на этой окружности, причем противоположно, на диаметре. Обозначим путь , который обозначает правую дугу окружности, которая соединяет точки и . А путь – отрезок прямой Тогда необходимая нам область – это полукруг радиуса .

Зададим путь : где изменяется от 1 до 3. Получаем:

.

Если – наша область, то формулу нахождения работы можно записать так:

4. Найти индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии

от оси бесконечно длинного проводника с током

Решение: Выведем для начала нашу формулу в общем виде. Рассмотрим круговой контур произвольного радиуса (рис.3) , который расположен перпендикулярно проводнику с током

Рис. 3

Так как магнитное поле направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение , равно Воспользуемся формулой криволинейного интеграла:

. В результате получим: или , где относительная магнитная проницаемость среды,

магнитная постоянная. Подставляя данные нашей задачи, получим

5. Рассчитать значение электрического поля и электродвижущей силы , которые возникают в кольце у летчика самолета в магнитном поле Земли, если летчик разгонит самолет до скорости 864 км/ч.

Решение: Рассчитаем для начала значение электрического поля. Образованное электрическое поле имеет постоянную амплитуду в силу симметрии абсолютно в любой точке кольца. Данное электрическое поле направлено к кольцу по касательной в любой его точке. Вычислим криволинейный интеграл:

Очевидно, что для вычисления электродвижущей силы, необходимо найти электрическое поле.

По закону Фарадея Появляется изменение магнитного потока , которое проходит через кольцо, так как проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли.

Сделаем предположение, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Изменение магнитного потока за равно где скорость самолета. Подставляя в формулу, полученную выше, получаем:

Все формулу найдены, теперь осталось только подсчитать:

6. В деревне Черныши Краснинского района трактористу Анатолию надо вспахать борозду, чтобы засеять ее морковью.

Сложность работы Анатолия заключается в том, что борозда неровная и через равные участки длиной 5 м ему попадаются сильные насыпи одинакового размера в форме циклоиды, высотой 65 см, причем их 8 штук.

За сколько примерно времени тракторист вспашет борозду, если скорость его рабочей машины 7,2 ?

Решение: Для решения данной задачи необходимо найти длину нашей борозды (рис. 4). Найдем длину нашей борозды, но для начала найдем длину одной насыпи.

Рис. 4

Зададим нашу линию параметрически:

,где Будем использовать формулу

Вычислим производные:

Высота нашей насыпи 0,65 м, значит поэтому длина нашей насыпи м.

Так как всего наших насыпей 8 штук, то значит длина всех неровностей 20,8м.

Но наша борозда состоит и из ровных участков, длиной 5м (рис. 5), их 9 штук:

Рис.5

Подсчитаем общую длину борозды:

Переведем

Осталось подсчитать время

В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме.

Библиографическая ссылка

Евдокимова И.С. ПРИЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 6.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=17894 (дата обращения: 10.03.2020).

Источник: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17894

Refy-free
Добавить комментарий