Основные элементарные функции, их свойства и графики

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции, их свойства и графики

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

  • постоянная функция (константа);
  • корень n-ой степени;
  • степенная функция;
  • показательная функция;
  • логарифмическая функция;
  • тригонометрические функции;
  • братные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Свойства постоянных функций:

  • область определения – все множество действительных чисел;
  • постоянная функция – четная;
  • область значений – множество, составленное из единственного числа C;
  • постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
  • постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
  • асимптоты отсутствуют;
  • точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

  1. Корень n-й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

  • область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +∞);
  • когда x=0, функцияy=xn имеет значение, равное нулю;
  • данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
  • область значений: [0, +∞);
  • данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
  • функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
  • отсутствуют точки перегиба;
  • асимптоты отсутствуют;
  • график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).
  1. Корень n-й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

  • область определения – множество всех действительных чисел;
  • данная функция – нечетная;
  • область значений – множество всех действительных чисел;
  • функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
  • функция имеет вогнутость на промежутке (-∞; 0] и выпуклость на промежутке [0, +∞);
  • точка перегиба имеет координаты (0; 0);
  • асимптоты отсутствуют;
  • график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой y=xa.

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

  • когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
  • показатель степени  может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/osnovnye-elementarnye-funktsii/

Реферат: Основные элементарные функции, их свойства и графики

Основные элементарные функции, их свойства и графики

Национальный научно-исследовательский университет

-ИрГТУ-

Кафедра прикладной геологии

Реферат по высшей математике

На тему: «Основные элементарные функции,

их свойства и графики»

Выполнил:

.

Проверил:

преподаватель

Коваленко Е.В.

Иркутск 2010

Показательные функции:- 3 —

Степенные функции:- 3 —

Логарифмические функции:- 3 —

Тригонометрические функции:- 3 —

Обратные тригонометрические функции:- 3 —

Список использованной литературы:- 3 —

Список рисунков:- 3 —

Показательные функции:

Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции :

1. Область определения — множество (R) всех действительных чисел.

2. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 1, а на рисунке 10 — для 0 < a < 1.

Рис. 9 График функции ; на интервале xÎ [0;5]

Рис. 10 График функции ; на интервале xÎ [0;5]

Тригонометрические функции:

Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.

Функция y = sin (х).

1. Область определения D(x) ÎR.

2. Область значений E(y) Î [ — 1; 1].

3. Функция периодическая; основной период равен 2π.

4. Функция нечетная .

5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.

Рис. 11 График функции ; на интервале xÎ [-2;2]

Функция y = cos(х).

1. Область определения D(x) ÎR.

2. Область значений E(y) Î [ — 1; 1].

3. Функция периодическая с основным периодом 2π.

4. Функция четная.

5. Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.

График функции у = соs (х) изображен на рисунке 12.

Рис. 12 График функции ; на интервале xÎ [-2;2]

Функция y = tg х.

1. Область определения: D(x) Ï π/2 + πk, kÎZ.

2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. π- основной период функции.

4. Функция нечетная.

5. Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).

График функции у = tg х изображен на рисунке 13.

Рис. 13 График функции ; на интервале xÎ (- 😉

Функция y = ctg х.

1. Область определения функции: D(x) Ï xπ/2 +πk, kÎZ.

2. Область значений функции E(y) Î (- ∞; + ∞).

3. Функция периодическая с основным периодом π.

4. Функция нечетная.

5. Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).

График функции у = ctg х изображен на рисунке 14.

Рис. 14 График функции ; на интервале xÎ (-

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-263967.html

Основные элементарные функции, их свойства и графики

Основные элементарные функции, их свойства и графики
Функции, исследование функций

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

Если Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Корень n-ой степени, n — четное число

Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n.

  • Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .
  • При x=0 функция принимает значение, равное нулю.
  • Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
  • Область значений функции: .
  • Функция при четных показателях корня возрастает на всей области определения.
  • Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и (1,1).

К началу страницы

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.

  • Область определения: множество всех действительных чисел.
  • Эта функция нечетная.
  • Область значений функции: множество всех действительных чисел.
  • Функция при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.
  • Эта функция вогнутая на промежутке и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
  • Асимптот нет.
  • График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1), (0,0) и (1,1).

К началу страницы

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака.

Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее — при четных положительных, далее — при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

  • Область определения: .
  • Область значений: .
  • Функция нечетная, так как .
  • Функция возрастает при .
  • Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).
  • Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

К началу страницы

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

  • Область определения: .
  • Область значений: .
  • Функция четная, так как .
  • Функция возрастает при , убывает при .
  • Функция вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

К началу страницы

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

  • Область определения: .
    При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: .
  • Функция нечетная, так как .
  • Функция убывает при .
  • Функция выпуклая при и вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как

    при а=-1,-3,-5,….

  • Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницы

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

  • Область определения: .
    При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: .
  • Функция четная, так как .
  • Функция возрастает при , убывает при .
  • Функция вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как

    при а=-2,-4,-6,….

  • Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

К началу страницы

Обратите внимание! Если a — положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь.

Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента.

Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

  • Область определения: .
  • Область значений: .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция возрастает при .
  • Функция выпуклая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

К началу страницы

Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

  • Область определения: .
  • Область значений: .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция возрастает при .
  • Функция вогнутая при , если ; при , если .
  • Точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

К началу страницы

Обратите внимание! Если a — отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь.

Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента.

Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , кгода .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a, .

  • Область определения: .
    при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция убывает при .
  • Функция вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
  • Функция проходит через точку (1;1).

К началу страницы

Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

  • Область определения: .
    при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция убывает при .
  • Функция вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
  • Функция проходит через точку (1;1).

К началу страницы

При а=0 и имеем функцию — это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 00 условились не придавать никакого значения).

К началу страницы

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

  • Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: .
  • Область значений: .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
  • Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
  • Функция вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
  • Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницы

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

  • Область определения показательной функции: .
  • Область значений: .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .
  • Функция вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
  • Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницы

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

  • Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
  • Область значений: .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
  • Функция вогнутая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальных асимптот нет.
  • Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().

Покажем графики логарифмических функций – синяя линия, – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

  • Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
  • Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция возрастает при .
  • Функция выпуклая при .
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальных асимптот нет.
  • Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по порядку.

Функция синус y = sin(x)

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства функции синус y = sinx.

  • Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .
  • Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .
  • Функция синус — нечетная, так как .
  • Функция убывает при ,

    возрастает при .

  • Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
    локальные минимумы в точках .
  • Функция y = sinx вогнутая при ,
    выпуклая при .
  • Координаты точек перегиба .
  • Асимптот нет.

К началу страницы

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

  • Область определения функции косинус: .
  • Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
  • Функция косинус — четная, так как .
  • Функция убывает при ,
    возрастает при .
  • Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
    локальные минимумы в точках .
  • Функция вогнутая при ,
    выпуклая при .
  • Координаты точек перегиба .
  • Асимптот нет.

К началу страницы

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

  • Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.
    Поведение функции y = tgx на границе области определения
    Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.
  • Наименьший положительный период функции тангенс .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Область значений функции y = tgx: .
  • Функция тангенс — нечетная, так как .
  • Функция возрастает при .
  • Функция вогнутая при ,

    выпуклая при .

  • Координаты точек перегиба .
  • Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

К началу страницы

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

  • Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел.
    Поведение на границе области определения
    Следовательно, прямые , где являются вертикальными асимптотами.
  • Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Область значений функции котангенс: .
  • Функция нечетная, так как .
  • Функция y = ctgx убывает при .
  • Функция котангенс вогнутая при ,
    выпуклая при .
  • Координаты точек перегиба .
  • Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

К началу страницы

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки «арк» обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x)

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

  • Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .
  • Область значений функции y = arcsin(x): .
  • Функция арксинус — нечетная, так как .
  • Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .
  • Функция вогнутая при , выпуклая при .
  • Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
  • Асимптот нет.

К началу страницы

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

  • Область определения функции арккосинус: .
  • Область значений функции y = arccos(x): .
  • Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
  • Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .
  • Функция вогнутая при , выпуклая при .
  • Точка перегиба .
  • Асимптот нет.

К началу страницы

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

  • Область определения функции y = arctg(x): .
  • Область значений функции арктангенс: .
  • Функция арктангенс — нечетная, так как .
  • Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
  • Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .
  • Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
  • Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

К началу страницы

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

  • Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .
  • Область значений функции y = arcctg(x): .
  • Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
  • Функция убывает на всей области определения, то есть, при .
  • Функция вогнутая при , выпуклая при .
  • Точка перегиба .
  • Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .
  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват учреждений.
  • Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
  • Новоселов С.И. Алгебра и элементарные функции.
  • Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/functions/basic_elementary_functions.html

Refy-free
Добавить комментарий