Методы решения систем линейных уравнений

Методы решения системы линейных алгебраических уравнений

Методы решения систем линейных уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравненийявляется одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем, кроме того является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

Системой линейных алгебраических уравнений называют систему уравнений вида: (1)

где неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Решением системы уравнений (1) называют всякую совокупность чисел которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в верные числовые равенства.

Систему уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений.

Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называют равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Систему (1) называют однородной, если свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда является совместной — она имеет решение (возможно, не единственное).

Если в системе (1) , то имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными: где неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если то система имеет единственное решение;

если то система не имеет решений;

если то система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Система имеет единственное решение пару чисел

Система имеет бесконечное множество решений. Например, решениями данной системы являются пары чисел и т.д.

Система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.

Определение. Определителем второго порядка называют выражение вида:

.

Обозначают определитель символом D.

Числа а11, …, а22 называют элементами определителя.

Диагональ, образованную элементами а11; а22 называют главной, диагональ, образованную элементами а12; а21 − побочной.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.

Пример. Вычислим определители:

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: где х1, х2неизвестные; а11, …, а22 – коэффициенты при неизвестных, b1, b2– свободные члены.

Если система двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, то его можно найти с помощью определителей второго порядка.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы: D= .

В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х1и при, х2. Введем два дополнительных определителя, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов: D1= D2= .

Теорема 14 (Крамера, для случая n=2). Если определитель D системы отличен от нуля (D¹0), то система имеет единственное решение, которое находят по формулам:

Данные формулы называют формулами Крамера.

Пример. Решим систему по правилу Крамера:

Решение. Найдем числа

Воспользуемся формулами Крамера и найдем решение исходной системы:

.

Ответ.

Определение. Определителем третьего порядка называют выражение вида:

Элементы а11; а22; а33 – образуют главную диагональ.

Числа а13; а22; а31 – образуют побочную диагональ.

В запись с плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Слагаемые с минусом образуют по той же схеме относительно побочной диагонали.

Пример. Вычислим определители:

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: где неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

В случае единственного решения систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить с помощью определителей 3-го порядка.

Определитель системы D имеет вид:

Введем три дополнительных определителя:

.

Теорема 15 (Крамера, для случая n=3). Если определитель D системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера:

Пример. Решим систему по правилу Крамера.

Решение. Найдем числа

Воспользуемся формулами Крамера и найдем решение исходной системы:

Ответ.

Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.

Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо.

Отметим только один случай. Если определитель системы равен нулю (D=0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет, то есть является несовместной.

Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными: где неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными то единственное решение системы находят по формулам Крамера:

Дополнительный определитель получают из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном xi заменить столбцом свободных членов.

Заметим, что определители D, D1, … , Dn имеют порядок n.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных −метод Гаусса. Данный метод представляет собой обобщение метода подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.

Метод основан на некоторых преобразованиях системы линейных уравнений, в результате которых получается система, равносильная исходной системе. Алгоритм метода состоит из двух этапов.

Первый этап называют прямым ходом метода Гаусса. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений.

Для этого на первом шаге делят первое уравнение системы на ( в противном случае осуществляют перестановку уравнений системы).

Обозначают коэффициенты полученного приведенного уравнения, домножают его на коэффициент и вычитают из второго уравнения системы, исключая, тем самым, из второго уравнения (обнуляя коэффициент ).

Аналогично поступают с остальными уравнениями и получают новую систему, во всех уравнениях которой, начиная со второго коэффициенты при , содержатся только нули. Очевидно, что полученная при этом новая система, будет равносильна исходной системе.

Если новые коэффициенты, при , не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приводят систему к так называемому треугольному виду:

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы единственным образом определяют , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда, в результате преобразований, в каком-либо из уравнений все коэффициенты и правая часть обращаются в ноль, то есть уравнение превращается в тождество 0=0. Исключив такое уравнение из системы, уменьшают число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2)

где неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Метод Гаусса решения данной системы состоит в следующем. Разделим все члены первого уравнения на , а затем, умножив полученное уравнение на вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено, и получится система вида: (3)

Теперь разделим второе уравнение системы (3) на умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получится система треугольного вида: (4)

Из последнего уравнения системы (4) находим , подставляя найденное

значение в первое уравнение, находим

Пример. Решим систему методом Гаусса.

Решение.Разделив первое уравнение на 2, получим равносильную систему:

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего – первое, умноженное на 5. Получим:

Вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а затем разделим второе уравнение на –7 (коэффициент при ), а третье – на 15 (новый коэффициент при ). Система примет вид:

Тогда

Отсюда – единственное решение системы.

Ответ.

Пример. Решим систему методом Гаусса.

Решение. Система после исключения из второго и третьего уравнений примет вид:

Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее уравнение станет тождеством 0=0. В системе осталось два уравнения:

Ее решение можно записать в виде: ‒ любое число,

Таким образом, данная система имеет бесконечно много решений.

Ответ. Система имеет бесконечно много решений.

Пример. Решим систему методом Гаусса.

Решение. Применив к этой системе метод Гаусса, получим

Откуда Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.

Ответ. Система не имеет решений.

Заметим, что рассмотренный ранее метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/8_48624_metodi-resheniya-sistemi-lineynih-algebraicheskih-uravneniy.html

Методы решения систем линейных уравнений

Методы решения систем линейных уравнений

Рассмотрим вначалеслучай, когда число уравнений равночислу переменных, т.е. m = n. Тогда матрицасистемы — квадратная, а ее определительназывают определителем системы.

Метод обратной матрицы

Рассмотрим в общемвиде систему уравнений АХ = В с невырожденнойквадратной матрицей А. В этом случаесуществует обратная матрица А-1.Домножим слева обе части на А-1.Получим А-1АХ = А-1В. ОтсюдаЕХ = А-1В и

Х = А-1В.

Последнее равенствопредставляет собой матричную формулудля нахождения решения таких системуравнений. Использование этой формулыполучило название метода обратнойматрицы

Например, решим этимметодом следующую систему:

;

В конце решения системыможно сделать проверку, подставивнайденные значения в уравнения системы.При этом они должны обратиться в верныеравенства.

Для рассмотренногопримера проведем проверку:

Метод решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей по формулам Крамера

Пусть n= 2:

Если обе части первогоуравнения умножить на a22,а обе части второго – на (-a12),и затем сложить полученные уравнения,то мы исключим из системы переменнуюx2. Аналогично можноисключить переменнуюx1(умножив обе части первого уравненияна (-a21), а обе частивторого – наa11). Врезультате получим систему:

Выражение в скобкахесть определитель системы

Обозначим

Тогда система приметвид:

Из полученной системыследует, что если определитель системы 0, то система будет совместной иопределенной. Ее единственное решениеможно вычислить по формулам:

Если = 0, а10 и/или20, то уравнения системы примут вид 0*х1=2и/или0*х1=2. В этомслучае система будет несовместной.

В случае, когда =1=2= 0, система будет совместной и неопределенной(будет иметь бесконечное множестворешений), так как примет вид:

Теорема Крамера(доказательство опустим). Если определительматрицы системыnуравненийне равен нулю, тосистема имеет единственное решение,определяемое по формулам:

,

где j- определитель матрицы, получаемой изматрицы А заменой j-го столбца столбцомсвободных членов.

Вышеприведенныеформулы называют формулами Крамера.

В качестве примерарешим этим методом систему, которую доэтого решали методом обратной матрицы:

Недостатки рассмотренныхметодов:

1) существеннаятрудоемкость (вычисление определителейи нахождение обратной матрицы);

2) ограниченная областьприменения (для систем с квадратнойматрицей).

Реальных экономическиеситуации чаще моделируются системами,в которых число уравнений и переменныхдовольно значительное, причем уравненийбольше, чем переменных Поэтому напрактике более распространен следующийметод.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)

Этот метод используетсядля решения системы m линейных уравненийс n переменными в общем виде. Его сутьзаключается в применении к расширеннойматрице системы равносильныхпреобразований, с помощью которыхсистема уравнений преобразуется к виду,когда ее решения становится легко найти(если они есть).

Это такой вид, в которомлевая верхняя часть матрицы системыбудет представлять собой ступенчатуюматрицу. Этого добиваются с помощью техже приемов, с помощью которых получалиступенчатую матрицу с целью определенияранга. При этом применяют к расширеннойматрице элементарные преобразования,которые позволят получить равносильнуюсистему уравнений. После этого расширеннаяматрица примет вид:

Получение такой матрицыназывают прямым ходомметода Гаусса.

Нахождение изсоответствующей системы уравненийзначений переменных называют обратнымходомметода Гаусса. Рассмотрим его.

Отметим, что последние(m – r) уравнений примут вид:

Если хотя бы одно изчисел не равно нулю, то соответствующееравенство будет ложным, а вся системанесовместной.

Поэтому для любойсовместной системы .В этом случае последние (m – r) уравненийпри любых значениях переменных будуттождествами 0 = 0, и их можно не приниматьво внимание при решении системы (простоотбросить соответствующие строки).

После этого системапримет вид:

Рассмотрим вначалеслучай, когда r=n.Тогда система примет вид:

Из последнего уравнениясистемы можно однозначно найти xr.

Предпоследнее уравнениебудет иметь вид:

Зная xr,из него можно однозначно выразитьxr-1.Затем из предыдущего уравнения, знаяxrиxr-1,можно выразитьxr-2и т.д. доx1.

Итак, в этом случаесистема будет совместной и определенной.

Например, решим системууравнений:

Теперь рассмотримслучай, когда r

Источник: https://studfile.net/preview/6144689/page:6/

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Методы решения систем линейных уравнений

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравненийэто значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — 4*a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K-1= 1 / |K|, где K-1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали.

Для варианта «три на три» существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1.

Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере anm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор xn — переменные, а bn — свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений.

Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы.

Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3×3-2×4=11 и 3×3+2×4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Источник: https://FB.ru/article/341146/primeryi-sistem-lineynyih-uravneniy-metod-resheniya

Refy-free
Добавить комментарий