Линейное и нелинейное программирование

В чем разница между линейным и нелинейным программированием

Линейное и нелинейное программирование

главное отличие между линейным и нелинейным программированием является то, что Линейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют линейные отношения, в то время как нелинейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют нелинейные отношения.

Линейное программирование является важной концепцией в методах оптимизации в математике, поскольку оно помогает найти наиболее оптимизированное решение для данной проблемы. С другой стороны, нелинейное программирование — это математический метод поиска оптимизированного решения с учетом ограничений или целевых функций, которые являются нелинейными.

Ключевые области покрыты

1. Что такое линейное программирование
— определение, функциональность
2. Что такое нелинейное программирование
— определение, функциональность
3. В чем разница между линейным и нелинейным программированием
— Сравнение основных различий

Основные условия

Линейное программирование, нелинейное программирование

Что такое линейное программирование

Линейное программирование — это математический метод, который позволяет определить наилучший возможный результат или решение из заданного набора параметров или набора требований. Эти параметры или требования имеют линейную зависимость.

Кроме того, основное преимущество линейного программирования заключается в том, что оно помогает выполнять моделирование или моделирование для поиска наилучших решений в соответствии с имеющимися деньгами, энергией, ресурсами, временем, пространством и другими связанными факторами или переменными.

Кроме того, результатом линейного программирования является максимизация прибыли и снижение затрат.

Рисунок 1: Пример графика для линейного программирования

Основные компоненты линейного программирования следующие.

Переменные решения — количество для определения

Объективная функция — Описывает, как каждая переменная решения влияет на свойство, которое должно быть оптимизировано.

Ограничения — Представляет, как каждая переменная решения будет использовать ограниченное количество ресурсов

Данные — Объясняет отношения между целевой функцией и ограничениями

Что такое нелинейное программирование

Нелинейное программирование — это процесс решения задач оптимизации, которые касаются некоторых нелинейных ограничений или нелинейных целевых функций.

Он включает в себя минимизацию или максимизацию нелинейной целевой функции с учетом связанных ограничений, линейных ограничений, нелинейных ограничений и т. Д. Этими ограничениями могут быть неравенства или равенства.

Кроме того, нелинейное программирование помогает анализировать компромиссы между проектами, выбирать оптимальные проекты, вычислять оптимальные траектории, оптимизировать портфель и калибровать модели в финансах вычислений.

Рисунок 2: Пример графика для нелинейного программирования

Существует два типа нелинейного программирования следующим образом.

Неограниченное нелинейное программирование

Неограниченное нелинейное программирование включает в себя поиск вектора x, который является локальным минимумом нелинейной скалярной функции f (x). Квазиньютон, Нелдер Мид и Траст-регион — это некоторые распространенные алгоритмы нелинейного программирования без ограничений.

Ограниченное нелинейное программирование

Ограниченное нелинейное программирование включает в себя поиск вектора x, который минимизирует нелинейную функцию f (x) с учетом одного или нескольких ограничений. Внутреннее, последовательное квадратичное программирование и рефлексивная область доверия являются некоторыми общими алгоритмами нелинейного программирования с ограничениями.

Определение

Линейное программирование — это метод достижения наилучшего результата в математической модели, требования которого представлены линейными отношениями, в то время как нелинейное программирование — это процесс решения задачи оптимизации, когда ограничения или целевые функции являются нелинейными. Таким образом, в этом основное отличие линейного и нелинейного программирования.

использование

Кроме того, линейное программирование помогает найти лучшее решение проблемы с использованием линейных ограничений, а нелинейное программирование помогает найти лучшее решение проблемы с использованием нелинейных ограничений.

Заключение

Основное различие между линейным и нелинейным программированием состоит в том, что линейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют линейную зависимость, в то время как нелинейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют нелинейные отношения.

Ссылка:

1. «Что такое линейное программирование (ЛП)? — Определение от Techopedia. ”Techopedia.com,

Источник: https://ru.strephonsays.com/what-is-the-difference-between-linear-and-nonlinear-programming

Особенности задач нелинейного программирования

Линейное и нелинейное программирование
Нелинейное программирование занимается оптимизацией моделей задач, в которых либо ограничения qi(x) либо целевая функция Z(X) либо то и другое нелинейны. Найти max(min)=Z=z(X)

в области

где R – отношение порядка (=, ≥, ≤), Ω– область допустимых решений; bi– константа, i=1,m;
X=(x1,…,xn)={xj}, j=1..n – план или вектор управления.
Для выяснения трудностей решения задач данного класса, порождаемых нелинейностью, сопоставим задачи линейного и нелинейного программирования. Можно указать три характерные особенности для каждого класса.

Задачи линейного программированияЗадачи нелинейного программирования
1. Область Ω допустимых планов – выпуклое множество с конечным числом угловых (крайних) точек.1. Множество Ω допустимых планов может быть невыпуклым, несвязным, иметь бесконечное число крайних точек.
2. Экстремальное значение линейная целевая функция z(X) достигает в одной из крайних точек (на границе области Ω допустимых решений).2. Экстремум может достигаться не только на границе, но и внутри области Ω допустимых решений.
3. Экстремальное значение z(X) целевой функции является и глобальным значением.3. Целевая функция z(X) в области Ω может иметь несколько локальных экстремумов.

На рисунке приводится классификация задач и методов нелинейного программирования. Рисунок — Классификация задач и методов нелинейного программирования

Большинство существующих методов в нелинейном программировании можно разделить на два больших класса:

  1. Прямые методы — методы непосредственного решения исходной задачи.

    Прямые методы порождают последовательность точек – решений, удовлетворяющих ограничениям, обеспечивающим монотонное убывание целевой функции. Недостаток: трудно получить свойство глобальной сходимости.

    Задачи с ограничениями в виде равенств.

    Метод замены переменных (МЗП)

  2. Двойственные методы — методы, использующие понятие двойственности. В этом случае легко получить глобальную сходимость.
    Недостаток: не дают решения исходной задачи в ходе решения – оно реализуемо лишь в конце итерационного процесса.
    • Метод множителей Лагранжа (ММЛ)
    • Методы штрафов
    • Метод множителей
    • Методы линеаризации для задач условной оптимизации Алгоритм Франка–Вульфа Метод допустимых направлений Зойтендейка
    • Метод условного градиента
    • Метод проекции градиента
    • Сепарабельное программирование.
    • Квадратичное программирование

Прямые методы

Метод проекции градиента.
Метод условного градиента.

Методы линеаризации для задач условной оптимизации

Методы перебора применимы для отыскания экстремумов унимодальных целевых функций.

Действие любого из методов поиска заключается в сужении области поиска экстремума (длины l 0):
а) до области заданной длины (e> 0), проводя минимальное число измерений значений функции (методы дихотомии, золотого сечения);
б) до наименьших возможных размеров ln при заданном числе измерений n (метод Фибоначчи).

Первая формулировка целесообразна в том случае, если с каждым измерением связаны значительные затраты средств или времени, однако на поиск отпускаются неограниченные средства, которые мы все же стремимся минимизировать; вторая – когда исследователь располагает ограниченными средствами и, зная расходы, связанные с каждым измерением, стремится получить наилучший результат.

Классические методы нахождения экстремумов функций предполагают, что целевые функции непрерывные и гладкие. Для существования точки экстремума должны выполняться необходимые и достаточные условия.

Необходимыми условиями существования экстремума являются требования обращения в нуль частных производных первого порядка целевой функции по каждой из переменных. Точка, найденная из необходимых условий, называется стационарной (подозрительной на оптимальную).

В качестве стационарных точек могут быть точки перегиба, седловые точки и др. Поэтому необходим учет достаточных условий нахождения экстремумов функций. Он сложен для функций многих переменных как в алгебраическом, так и в вычислительном плане.

Так в случае функции двух переменных достаточным условием существования экстремума будет положительная определенность матрицы А размером 2×2 (условие Лежандра-Клебша), составленной из вторых частных производных функции.

Недостатком классического метода дифференциального исчисления является и то, что он дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри области определения функции. Если экстремум находится на границе области определения, то этот метод становится бессильным.

Методы покоординатного спуска относятся к группе приближенных методов нелинейной оптимизации и направлены на уменьшение трудностей, связанных с отысканием экстремума функции цели со сложной аналитической структурой классическими методами дифференциального исчисления.

Суть этих методов заключается в продвижении от исходной точки в области определения функции к точке оптимума итеративно; в методе Гаусса – последовательно по каждой из переменных (покоординатно); в градиентных методах – одновременно по всем переменным в направлении градиента или антиградиента.

Критерием окончания итеративных процедур является равенство нулю всех частных производных целевой функции, или квадрат суммы всех частных производных целевой функции должен быть не более заданного числа e, или разность достигнутого значения целевой функции и значения в предыдущей точке должна быть не более e и другие.

Источник: https://math.semestr.ru/optim/nonlinear-programming.php

Нелинейное программирование

Линейное и нелинейное программирование

Рис.1

Задача линейного программирования

Как мы уже говорили ранее, термин «линейное программирование» связывается с исследованием и решением следующей типовой задачи.

Симплекс (обобщенный тетраэдр), отсекающий на осях координат единичные отрезки.  

Видно, что в ограничениях стоят соотношения ≥, ≤, =. При решении задачи ЛП эту систему из «m»ограничений сводят к системе из m уравнений, что легко сделать введя добавочные переменные так, чтобы в зависимости от знака неравенства имело место одно из двух выражений:

Такие изменения просто приводят к увеличению числа переменных, что непринципиально.

Итак, ограничения запишутся виде:

Обозначим для удобства и задачу ЛП запишем:

Характерной особенностью задачи является то, что число уравнений меньше числа неизвестных т.е. . Введем некоторую терминологию, широко употребляемую в задачах ЛП.

Базисом называется любой набор переменных таких, что определить, составленный из коэффициентов при этих переменных, не равен нулю.

Эти переменных называются базисными переменными (по отношению к данному базису). Остальные переменных называются небазисными или свободными переменными.

В каждой конкретной системе уравнений (1) может существовать несколько различных базисов с различными базисными переменными.

Если положить все свободные переменные равными нулю и решить полученную систему уравнений с неизвестными, то получим базисное решение. Однако среди различных базисных решений будут такие, которые дают отрицательные значения некоторых переменных. Эти базисные решения противоречат условию задачи и являются недопустимыми.

Допустимые базисные решения дают неотрицательные значения базисных переменных. Допустимые базисные решения являются наиболее простыми из возможных решений системы (1).

ЛП возникло в связи с рассмотрением вопросов о нахождении наивыгоднейших вариантов при решении различны управленческих и планово производных задач. К таким задачам относятся задачи нахождения наиболее рационального способа использования сырья и материалов, определения наивыгоднейших производственных режимов, повышения эффективности работы транспорта и т. п.

Рассмотрим, например, следующею задачу об использовании ресурсов. Для осуществления различных технологических процессов заводу требуется видов ресурсов (сырьё, топливо, комплект инструментов и т.п.).

Запасы ресурсов каждого вида ограничены и равны . Известен расход ресурсов на единицу продукции по каждому технологическому процессу.

Требуется определить в каком количестве выпускать продукцию каждого вида, чтобы доход от реализации этой продукции был максимальным.

Обозначим через расход ресурсов вида на единицу продукции вида , а через — доход от реализации единицы продукции вида . Все имеющиеся данные представим в виде таблицы, положив в конкретности .

Виды ресурсов Расход ресурсов на ед. продукции Запасы ресурсов
T1 T2 T3 T4
S1а11а12а13а14 b1
S2а21а22а23а24 b2
S3а31а32а33а34 b3
Доход от реализации ед. продукции С1 С2 С3 С4 ______

Обозначим через количество единицы выпускаемой продукции вида . Ограничениями в этой задаче являются требования, чтобы расход ресурсов вида на выпуск всех видов продукции не превышал имеющихся запасов:

.

Эти ограничения легко превратить в уравнения, введя переменную которые можно трактовать как использованные ресурсы вида . При этом получим

Добавим сюда очевидное .

Доход от реализации выпускаемой продукции

Оптимальным планом выпуска продукции будет такое неотрицательное решение (2), при котором целевая функция будет максимальна.

Для того, чтобы получить более полное представление о задаче линейного программирования, дадим геометрическую интерпритацию следующей задачи.

Имеется система уравнений

Целевая функция . Требуется найти неотрицательные значения переменной удовлетворяющих (3) и максимизирующих целевую функцию (5).

В данном примере число уравнений , а число неизвестных , так что имеется базисных переменных и свободных переменных. То, что число свободных переменных равно 2, дает возможность проиллюстрировать решение задачи геометрически в 2-х мерном пространстве, т.е. на плоскости.

Систему (3) можно разрешить относительно 3-х переменных, например, выразив их через и .

При это получим:

По условию задачи ЛП переменная может принимать только неотрицательные значения, т.е. областью допустимых значений переменной будут область определяемая условиями (4). Каждое из неравенств (4) определяет некоторую полуплоскость на плоскости .

Так неравенство определяет правую полуплоскость, а неравенство определяет полуплоскость, лежащую по одну сторону от прямой а именно ту, которая содержит начало координат, что легко проверяется подстановкой в первое из соотношений (6) координат точку (0,0) область, соответствующая т.е. слева от является запрещенной.

Из рисунка, приведенного ниже, видно, что допустимой областью значений переменной и является замкнутый выпуклый многоугольник o a b c d.

Проведенное построение позволяет дат геометрическую интерпретацию базисному решению. Т.к. каждая прямая на рисунке соответствует обращению в нуль одной из переменной, то в точках пересечения 2-х прямых будут обращаться в нуль две, т.е.

в нашем случае переменных. Но есть число свободных переменных, обращения которых в нуль соответствует базисному решению. Таким образом, точки пересечения прямых определяют базисное решение задачи ЛП (т.т. о, a, b, c, d, e, f, g, n, k).

Среди базисных решений имеются такие, которые не принадлежат области допустимых решений. Это недопустимые базисные решения (т.т. , e, f, g, n, k). Области допустимых решений принадлежат только те точки пересечения прямых , которые являются вершинами многоугольника допустимых решений. Следовательно, вершины многоугольника допустимых решений соответствуют допустимым базисным решениям.

Рассмотрим теперь условия обращения в «max» и формулы (5) геометрически при любом . Выражение (5) определяет прямую, проведенную под углом 450 к оси абсцисс, причем увеличению соответствует перемещению прямой в направлении стрелки, показанной на рисунке 1.

Это прямая будет совместна с допустимым решением задачи только в том случае, если она имеет общие точки с областью допустимых решений. Максимальное значение получается при крайнем положении прямой, когда она только касается многоугольника допустимых решений.

Ясно, что такая прямая обязательно проходит хотя бы через одну из её вершин, которые, как мы видим, соответствует допустимым базисным решениям. (Отметим, что если бы, скажем, прямая , бала бы параллельной , то тогда бы линия целевой функции достигла max значения на линии , т.

ею сразу двух вершин (a b n— мерном случае – и более) и решениями были бы бесчисленные множества точек на участке a b).

Таким образом, мы приходим к очень важному выводу, что решение задач ЛП, обращается в extr Ц.Ф. , обязательно лежит среди допустимых базисных решений. Кстати, этой вывод легко обобщается на случай произвольных и , когда .

Полученный вывод позволяет наметить путь решения задачи ЛП. Поскольку решение должно находится среди допустимых базисных решений, число которых, то можно найти все допустимые базисные решения и для каждого из них вычислить значение .

Окончательным решением явится то из найденных решений, для которого значения будет .

Такой путь решения задачи хотя и возможен, но весьма трудоемок, т.к. число допустимых базисных решений может быть весьма большим.

Однако существуют рациональные способу последовательного перебора базисных решений, которые позволяют рассматривать не все допустимые базисные решения, а их минимальные число.

Одним из наиболее распространенных методов такого перебора является так называемый симплексный метод.

Существо Симплекс –метода состоит в следующем. Прежде всего, находится какое–либо допустимое базисное решение.

Его можно найти, приняв какое–либо переменных за свободные приравняв их нулю и решив получившуюся систему уравнений (1) т.е. получив значения базисных переменных.

Если при этом некоторые из базисных переменных окажутся отрицательными, то нужно выбрать другие свободные переменные, т.е. перейти к новому базису.

После того, как найдено допустимое базисное решение, проверяется, не достигнут ли уже extr целевой функции .

Если нет, то ищут новое допустимое базисное решение, но не любое , а такое, которое увеличивает значение целевой функции . Затем процедура повторяется. Данный метод довольно быстро приводит к цели, т.к.

позволяет исключить из рассмотрения большое число базисных решений, заведомо не обращающих в extr целевую функцию.

Разберем метод более подробно на рассмотренном ранее примере (3)-(5).

Поскольку , то в качестве свободных переменных можно взять любые две переменные, например, и .

Положив их равными нулю, из (3) находим базисное решение , которое является допустимым и при котором

.

Проверку того, не достигнут ли при найденном решении extr (в данном случае max) целевой функции, можно сделать путем поиска нового базисного решения, при котором целевая функция будут больше.

Для перехода к новому допустимому базисному решению одну из свободных переменных или следует сделать базисной. При этом, т.е. после перевода её из свободных, когда она была =0, в базисные, она согласно (4) будет отличной от нуля, т.е. возрастает.

Следовательно, если какие-либо из свободных переменных входит в выражение для целевой функции со знаком «+», а значит при её увеличении целевой функции возрастает, то «max» целевой функции не достигнут и данную переменную следует превратить в базисную, сделать её отличной от нуля.

Вместо этой переменной, переведенной из свободной в базисную, надо из старого базиса перевести одну из переменных в свободную. Но какую именно?

Однако при возрастании свободной переменной некоторые из базисных переменных начнут уменьшатся, причем одни из них при возрастании этой свободной переменной достигнут нуля раньше, другие позднее.

Так как отрицательные значения переменной недопустимы, в качестве новой свободной переменной в замен той свободной, которую мы только что перевели в базисную, которая раньше других обратится при этом в нуль.

В рассматриваемом примере в выражении для целевой функции (5) со знаком «+» входит свободная переменная . Значит «max» целевой функции не достигнут и переменную следует сделать из свободной базисной. Для определения новой свободной переменной взамен , перешедшей в базисные, выразим старые базисные переменные через сиарые свободные и , приведя уравнение (5) к (6).

Из этих уравнений видим, что если положить свободную переменную (а свободные переменные для базисного решения и должны быть равны нулю),то при увеличении переводимой из свободных в новые базисные, не уменьшается, а уменьшается и ,причем с ростом переменной быстрее достигнет нулю, чем . обратится в нуль при , а при . Таким образом, её переменная и сделаем новой свободной вместо , что приводит нас к новому базису .

Для продолжения решения преобразуем (3) к виду, когда новые базисы переменных зависят от новых свободных переменных и . Из 2-го уравнения системы (6) сразу получаем:

Целевую функцию также выразим через новые свободные переменные и

Повторив приведенные ранее рассуждения, приходим к выводу, что «max» целевой функции не достигнут т.к. входит в (8) со знаком «+». Значит надо свободную переменную перевести в базисную, а какую базисную надо перевести в свободные вместо ?

Обратимся к (7) когда свободная переменная , то видно, что при возрастании новой базисной переменной переменные и не уменьшаются, а уменьшается. Её и переведем из базисных в свободные. Итак, новый базис , новые свободные переменные и . Разрешая (7) относительно новых базисных переменных и , получим

Целевая функция при этом принимает вид

Из этого выражения видно, что при увеличении свободной переменных и значение уменьшается. Следовательно при данном базисе достигается «max». Целевой функциейи решением поставленной задачи будет следующий набор переменных

При этом .

Рассмотренный метод решения задачи линейного программирования обладает тем недостатком, что связан с громоздкими преобразованиями системы линейных уравнений из одной формы в другую.

Значительного упрощения преобразований можно добиться, если представлять уравнения в виде таблиц, содержащих коэффициенты при переменной (так называемая табличная форма симплекс-метода).

Переход от одной системы уравнений к другой при этом сводится к пересчету коэффициентов в таблицах, что осуществляется по чисто формальным правилам, хорошо приспособленным для решения на ЭВМ. Программы решения задач линейного программирования входят в математическое обеспечение большинства ЭВМ.

Классическая задача Лагранжа

На l найти точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом. Это типичная задача Лагранжа. Она может решаться двумя путями: 1-путь- путь перебора, что является неэффективно;

2-путь –построение линий равного уровня угла .

т.е. в точке касания.

Решение задачи на ограничениях будет единственно тогда, когда и есть функции выпуклые или вогнутые.

Решение находится в точке касания линий уравнения и ограничения. А как найти решение аналитически?

Возьмем:

Найти на ограничении =0

точка А0 абсолютнобезусловный и пусть она не лежит на ограничении.

Предположим, что — гладкие выпуклые функции.

Решение задачи будет на линии уровня, касающейся ограничения.

Проведем общую касательную к 2-м кривым.

и в extr точки лежат на одной линии т.е. на перпендикулярной к обшей касательной.

Из подобия треугольников имеем:

или в виде 2-х равенств:

Это из геометрии для экстремума точки

(1)

Составим функцию Лагранжа:

Скалярное произведение

Специально по сконструированная функция

1-ое слагаемое

2-ое слагаемое произведение .

Найдем безусловный extr такой функции.

По теореме Ферма.

тоже самое что (*)

уравнение связи.

Имеем три уравнения и три неизвестные —

— неопределенное множество Лагранжа.

С помощью задача на условный extr нелинейной функциисводится к задачи на безусловный extr функции Лагранжа.

Мы (поскольку имеем необходимый условный extr) находим точки, подозрительные на extr.

Пример.

Конструируем вспомогательную функцию.

Данную функцию исследуем на extr.

Если система совместна, то она имеет единственное решение.

Подставим и в уравнение 3

: откуда

Находим:

Откуда:

Если много ограничений

тогда

Такие задачи бывают несовместны т.к. иногда ограничения экранируют друг друга

Пример:

Откуда:

Видно, что эти уравнения несовместимы.

Из рисунка видно, что экранирует т.е. второе ограничение здесь не работает.

Поэтому, когда ограничений много проще вычисляя точки находить решение для каждого ограничения.

Какие задачи можно решить методом Лагранжа из тех, которые были поставлены? Можно решать задачу распределения мощностей.

Пример.

Мощность, затрачиваемая на перекачку , где

-характеризуют состояние мощности гидр. цепей (трубопроводы, задвижки, колена и т.д).

Здесь могут быть две постановки задачи:

1) При ограничении равенства обеспечить N (т.е. к.п.д.).

2) При заданной мощности агрегатов обеспечить производительности.

Решим задачу методом Лагранжа.

Пусть

Тогда, т.е. так необходимо распределить мощности между машинами, чтобы обеспечить N.

Т.к. нагрузка меняется, то меняется и Q (пунктир). Для каждого режима заранее находится точки режима (0) и используют его при изменении нагрузки.

2) Задана получить производительность.

Пример. Имеем последовательное соединение машин, когда надо сильно поднять давление.

Ei— степень старения

уравнение связи.

должен быть постоянным при .

Отсюда видно, чтобы обеспечить это должно быть .

Мощность машин

где

-такие же коэффициенты, как и т.е. характеризуют состояние машин, их изношенность, производительность и т.д.

Постановка задачи:

1) Задано , получить .

2) Задано , получить .

Из физики работы не может быть отрицательным поэтому нам надо брать одно значение , а именно «-».

Пусть , тогда .

Задача Лагранжа в технике имеет ограниченное применение. Поэтому в технике чаще рассматриваются задачи.

на т.е. на ограничениях неравенства.

Нет общих аналитических методов решения этих задач, только численные или в частных случаях аналитические.

Проанализируем эти задачи качественно. Нам для этого понадобятся новые математические понятия.

Пусть дано уравнение:

Это уравнение называется уравнением гиперплоскости.

Гиперплоскость— множество точек, удовлетворяющих этому уравнению.

Пусть есть нелинейное уравнение.

Это гиперповерхность –множество точек, удовлетворяющих этому решению.

В 2-х мерном пространстве гиперплоскость это прямая линия, а гиперповерхность – кривая.

Возьмем

Это неравенство характеризует полупространство, т.е. множество точек, удовлетворяющих этому неравенству. Это открытое (незамкнутое) полупространство.

Возьмем

— это неравенство характеризует открытое полупространство, т.е. множество точек, удовлетворяющих этому неравенству.

Проведем операцию замыкания:

т.е. полупространство включаем и гиперплоскость. Получим замкнутое полупространство, т.е. множество точек, удовлетворяющему этому неравенству.

Также

тоже характеризует замкнутое полупространство.

Свойство этих множеств (полупространств) зависит от свойств функции .

В множествах также различают выпуклые и невыпуклые множества.

Теорема. Замкнутые множества, образованные выпуклыми или вогнутыми функциями, являются выпуклыми.

Определение выпуклости множества

, т.е. любые две точки множества и отрезок их соединяющий должны принадлежать множеству.

Теорема конструктивна, ибо всегда мы можем определить выпуклая функция или нет.

Теорема. Пересечение выпуклых является выпуклым множеством.

Если берут множеств, т.е. то уже нельзя сказать о выпуклости множеств.

Рассмотрим постановку задачи нелинейного программирования.

Дано .

Даны ограничения .

Общих методов решения нет. В нем отличие нелинейного программирования от Линейного программирования.

1) Процессы поиска решения, как правило бесконечны (т.е. число шагов поиска).

2) Решение нелинейного программирования может быть как на границе так и внутри области ограничений, а в линейном программировании только на границе.

Какие способы применяются для решения нелинейного программирования?

1) Линеаризация нелинейностей и применение «Симплекс-метода».

2) Применение градиентных методов к задачам нелинейного программирования.

3) Методы штрафных функций.

Если выпукла, и если выпуклы, то их пересечение образует выпуклое множество, т.е. получается задача выпуклого программирования, где условный единственный.

Частный случай задачи выпуклого программирования –квадратичное программирование, где -квадрат функции, а ограничения линейные.

Мы будем рассматривать задачу квадратичного программирования и там, где это возможно, будут обобщать задачи квадратичного программирования на задачи выпуклого программирования.

Методы решения задачи квадратичного программирования.

1)Симплексные процедуры. Они для квадратичного программирования не являются конечными, как для линейного программирования.

Пример.

может быть как внутри многоугольника, так и на границе. Проверим, принадлежит ли точка абсолютного многоугольнику ограничений. Для этого найдем координаты абсолютного .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_98970_nelineynoe-programmirovanie.html

Refy-free
Добавить комментарий