Лекции по Линейной алгебре

Содержание
  1. Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана — Линейная алгебра и функции нескольких переменных (1-й курс, 2-й семестр)
  2. Иллюстративный видеокурс по линейной алгебре: 11 уроков
  3. Введение в видеокурс о линейной алгебре
  4. 1. Что мы подразумеваем под векторами?
  5. 2. Линейные комбинации, линейная оболочка и базисные вектора
  6. 3. Линейные преобразования и матрицы
  7. 4. Перемножение матриц
  8. 4. Дополнение. Трехмерные линейные преобразования
  9. 5. Определитель матрицы, векторное пространство столбцов, нулевое пространство
  10. 6. Обратные матрицы, размерность пространства
  11. 6. Дополнение. Прямоугольные матрицы для линейных преобразований между пространствами разной размерности
  12. 7. Скалярное произведение
  13. 8. Векторное произведение
  14. 8. Продолжение. Векторное произведение в свете линейных преобразований
  15. 9. Переход к новому базису
  16. 10. Собственные векторы и собственные числа
  17. 11. Абстрактные векторные пространства

Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана — Линейная алгебра и функции нескольких переменных (1-й курс, 2-й семестр)

Лекции по Линейной алгебре

авторы А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Это расширенный вариант лекций, читаемых студентам большинства специальностей в МГТУ имени Н.Э. Баумана.

Дополнительный материал, включенный в этот вариант, представлен теми вопросами, которые вынесены на самостоятельное изучение и в аудитории, как правило, не рассматриваются.

Кроме того, увеличено количество примеров решения типовых задач, что, на наш взгляд, также будет полезным при изучении курса (но при этом не отменяет семинарские занятия).

В начале каждой лекции приведено краткое содержание, которое почти дословно совпадает с календарным планом по курсу (расхождения в основном вызваны разделением материала на отдельные лекции).

pdf Лекция 1. Линейные пространства.   Аксиомы и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Критерий линейной зависимости, его следствия. Определение базиса и размерности линейного пространства.

Теоремы о базисе и размерности (без док-ва). Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в базисе. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

 

pdf Лекция 2. Линейные подпространства. Евклидовы пространства.  Подпространства линейного пространства. Ранг системы векторов, связь с рангом матрицы. Линейная оболочка. Примеры. Евклидово пространство, аксиомы и примеры. Норма вектора.

Неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника. Ортогональность векторов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства Выражение координат вектора в ортонормированном базисе.

Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортонормированном базисе.

pdf Лекция 3. Процесс ортогонализации. Линейные операторы и их матрицы.  Теорема о его существовании ортонормированного базиса и процесс ортогонализации Грама — Шмидта (без док-ва). Линейные операторы и их матрицы (определение, примеры).

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ее определителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

 

pdf Лекция 4. Характеристический многочлен и собственные значения.  Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от базиса. След матрицы линейного оператора и его инвариантность.

Характеристический многочлен и собственные значения матрицы. Свойство множества собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, связь между ними (без док-ва).

Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Критерий существования такого базиса (без док-ва).

Существование базиса из собственных векторов в случае действительных и некратных корней характеристического уравнения. 

pdf Лекция 5. Линейные операторы в евклидовых пространствах.  Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе. Свойства корней характеристического многочлена самосопряженного оператора: вещественность и равенство алгебраических и геометрических кратностей (без док-ва).

Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора (док-во для случая различных собственных значений). Ортогональные преобразования, ортогональные матрицы и их свойства.

Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.

pdf Лекция 6. Квадратичные формы и их свойства.  Квадратичные формы. Координатная и матричная формы записи. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (без док-ва) Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа.

Закон инерции квадратичных форм (без док-ва). 

pdf Лекция 7. Канонический вид кривых и поверхностей второго порядка.  Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. 

pdf Лекция 8. Функции нескольких переменных как отображения.  Метрика и окрестности в Rn. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в Rn. Граница множества. Понятие области в Rn.

Скалярная функция нескольких переменных (ФНП) как отображение F: Ω→R (Ω⊆Rn). Линии и поверхности уровня. Предел ФНП. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.

Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).

pdf Лекция 9. Дифференцируемые функции нескольких переменных.  Частные производные ФНП, геометрическая интерпретация для n=2. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия и достаточное условие дифференцируемости.

pdf Лекция 10. Дифференциал.Полный дифференциал ФНП. Производная сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФНП (без док-ва). Применение дифференциала ФНП к приближенным вычислениям.

pdf Лекция 11. Неявные функции. Градиент.  Неявные функции. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявной ФНП. Производная ФНП по направлению и градиент, их свойства. 

pdf Лекция 12. Геометрические приложения.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования и вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

pdf Лекция 13. Экстремум функции нескольких переменных.  Экстремум ФНП. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе, без док-ва).

pdf Лекция 14. Условный экстремум.  Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при n=2), функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума (вывод для n=2). Достаточные условия (без док-ва). Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП на замкнутом ограниченном множестве.

pdf Лекция 15. Векторные функции нескольких переменных.  Векторная ФНП (ВФНП) как отображение F: Ω→Rm (Ω⊆Rn).. Координатные функции ВФНП. Геометрическая интерпретация для n, m = 2, 3. Предел ВФНП. Непрерывность ВФНП.

pdf Лекция 16. Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных.  Матрица Якоби ВФНП, якобиан (при n=m). Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал. Производная сложной ВФНП в матричной форме. Теорема о неявной функции в общем случае. Теорема об обратной функции.

Источник: http://fn.bmstu.ru/educational-work-fs-12/70-lections/240-lin-al-fmp

Иллюстративный видеокурс по линейной алгебре: 11 уроков

Лекции по Линейной алгебре

курс по линейной алгебре с большим количеством анимаций будет полезен при создании компьютерной графики и решении задач ML.

Эти красочные, прекрасно иллюстрированные видеоуроки в Full HD разрешении, созданные выпускником Стэнфорда Грантом Сандерсоном, будут полезны всем, кто проходил или проходит курс по линейной алгебре, но не до конца ощутил, зачем это все нужно и как работает.

Уроки идут в порядке, предполагающем их последовательный просмотр – каждое следующее видео использует знания и иллюстрации из предыдущих.

В этих уроках вы не найдете расчетов примеров из задачников по линейной алгебре и строгого доказательства теорем, однако визуализируете основные концепции линейной алгебры, действия с векторами и матрицами.

Все видео имеют английские авторские субтитры, при этом первые пять также содержат их перевод на русский язык.

Введение в видеокурс о линейной алгебре

https://www..com/watch?v=kjBOesZCoqc

Задача этого краткого курса из 11 уроков – уложить в голове всю образную сторону вопросов, лежащих в основании линейной алгебры при помощи видео с анимацией. Знания в линейной алгебре важны для понимания многих технических дисциплин: computer science, статистики, анализа данных, физики, экономики и т. д.

Однако студенты, изучившие курс линейной алгебры и механически научившиеся массе операций, таких как матричное умножение, нахождение определителя и собственных чисел, обычно не представляют зачем на практике нужны эти инструменты. Курс поможет прочувствовать линейную алгебру на интуитивно понятном геометрическом уровне. Визуальные образы позволят пропустить через себя основные концепции линейной алгебры. Вычисления же всегда можно доверить компьютеру.

1. Что мы подразумеваем под векторами?

https://www..com/watch?v=fNk_zzaMoSs

В основе любого курса по линейной алгебре лежит понятие о векторе. В первом уроке описываются три представления вектора: с точки зрения студента-физика, студента-программиста и математика.

Поясняются понятие вектора в привязке к системе координат и запись в виде столбца чисел. Вводятся операции сложения векторов и умножения на скаляр: как геометрически, так и численно.

Даются примеры использования операций над векторами в анализе данных и программировании компьютерной графики.

2. Линейные комбинации, линейная оболочка и базисные вектора

https://www..com/watch?v=k7RM-ot2NWY

Во втором уроке вводится понятие базиса и базисных векторов i и j, а также линейной оболочки как множества линейных комбинаций векторов в двухмерном и трехмерном пространствах. Иллюстрируется представление векторов как точек, в которых расположены концы векторов, исходящих из центра системы координат. Вводятся понятия линейно зависимых и линейно независимых векторов.

3. Линейные преобразования и матрицы

https://www..com/watch?v=kYB8IZa5AuE

В третьем уроке видеокурса по линейной алгебре показывается геометрическая интерпретация линейных преобразований (отображений), являющихся наиболее простыми из всех нетривиальных преобразований.

Начало координат остается на своем месте, а параллельные и равноудаленные прямые линии сохраняют эти свойства при преобразовании.

Через линейные отображения базисных векторов естественным образом можно ввести понятие матрицы.

В качестве примеров автором находятся матрицы для поворота вектора на 90° против часовой стрелки и наклона вектора. Иллюстрируется также случай, соответствующий линейно зависимым базисным векторам, когда двумерное пространство вырождается в линию.

4. Перемножение матриц

https://www..com/watch?v=XkY2DOUCWMU

Итак, умножение матрицы на вектор это фактически линейное преобразование вектора. Но что, если к вектору применяется несколько преобразований? Например, в компьютерной графике один за другим кадры сменяют друг друга, и одно изображение преобразуется в следующее. Такое отображение называют композицией преобразований. Как любое преобразование, оно может быть описано матрицей.

Фактически оно является произведением матриц соответствующих линейных отображений. В уроке иллюстрируется как сама операция умножения матриц, так и представление этой операции через последовательные преобразования базисных векторов. Показывается, почему важен порядок умножения одной матрицы на другую.

4. Дополнение. Трехмерные линейные преобразования

https://www..com/watch?v=rHLEWRxRGiM

В этом видео линейные преобразования на плоскости расширяются до случая объемных отображений. Для этого используются уже три базисных вектора, а матрицы линейных преобразований имеют размерность 3х3. Перемножение таких матриц ничем не отличается от перемножения матриц 2х2.

5. Определитель матрицы, векторное пространство столбцов, нулевое пространство

https://www..com/watch?v=Ip3X9LOh2dk

В предыдущих уроках вы могли заметить, что одни преобразования в линейной алгебре растягивают пространство, а другие сжимают. Интересно определить число, которое показывает как меняется площадь или объем какой-либо фигуры при таких преобразованиях. В видео демонстрируются линейные преобразования различных фигур и соответствующее изменение их площади.

Параметр этого изменения называют определителем (детерминантом). Показывается, почему равенство определителя нулю соответствует уменьшению размерности пространства, а отрицательное значение – изменению ориентации пространства. Из геометрических соображений объясняется формула нахождения определителя.

6. Обратные матрицы, размерность пространства

https://www..com/watch?v=uQhTuRlWMxw

В начале видео описывается линейная система уравнений и ее представление через матрицу и два вектора в виде Ax = v, в котором мы знаем матрицу A и вектор v. В геометрическом ключе, ища x, мы ищем вектор, который в результате линейного преобразования A совпадет с вектором v.

Такую задачу можно рассмотреть и в обратном ключе: x это тот вектор, в который преобразуется вектор v в результате преобразования, обратного A. Соответствующее отображение обозначают A-1. Нахождение такой обратной матрицы позволяет решить первое уравнение в виде x = A-1 v.

Урок содержит множество анимаций, иллюстрирующих эту концепцию. Описываются случаи ненулевого и нулевого определителей линейного преобразования. Вводится понятие ранга матрицы – количества измерений пространства, в которое переводит вектор линейное отображение.

6. Дополнение. Прямоугольные матрицы для линейных преобразований между пространствами разной размерности

https://www..com/watch?v=v8VSDg_WQlA

Аналогично тому, как в последних видео при помощи квадратных матриц соответствующей размерности было рассмотрено преобразование двумерных векторов в двумерные и трехмерных в трехмерные, возможно и преобразование размерности пространства. В этом видео иллюстрируется как соотносятся размерности таких прямоугольных матриц и пространств, между которыми происходит линейное отображение векторов.

7. Скалярное произведение

https://www..com/watch?v=LyGKycYT2v0

В этом видео дается алгебраическое и геометрическое определения скалярного произведения. Геометрическая интерпретация иллюстрирует тот факт, что знак скалярного произведения указывает на отношение направлений двух векторов.

При этом, как подтверждают рассуждения, порядок умножения не влияет на результат скалярного произведения. Показывается, что проекции вектора на различные оси есть ничто иное, как скалярные произведения вектора с базисными векторами этих осей.

Объясняется, почему скалярное произведение векторов идентично произведению матрицы-строки на матрицу-столбец.

8. Векторное произведение

https://www..com/watch?v=eu6i7WJeinw

Геометрический смысл векторного произведения двух векторов – вектор с длиной, равной площади параллелограмма между этими векторами. Направление вектора зависит от ориентации пространства. Соответственно при изменении порядка множителей меняется знак векторного произведения. Таким образом, понятие векторного произведения тесно связано с определением детерминанта.

В начале этого видео для лучшего понимания автор намеренно упрощает картину, усложняя ее по мере рассказа. Показывается как облегчается запись векторного произведения, если воспринимать его как определитель особой матрицы, состоящей из базисных векторов и координат перемножаемых векторов.

8. Продолжение. Векторное произведение в свете линейных преобразований

https://www..com/watch?v=BaM7OCEm3G0

Отталкиваясь от последней идеи предыдущего видео и нескольких предшествовавших уроков, автор раскрывает идею векторного произведения трех векторов. Показывается связь между векторным и скалярными произведениями в трехмерном пространстве, а также связь между геометрическим и алгебраическим представлением этих операций.

9. Переход к новому базису

https://www..com/watch?v=P2LTAUO1TdA

Стандартно координаты вектора рассматриваются как скалярные числа, описывающие какое количество каждого из базисных векторов нужно взять, чтобы в сумме получить вектор с такими координатами. В этом видеоуроке показано, что при выполнении определенных условий базис может быть выбран различным образом. Базисные вектора лишь задают сетку пространства.

Урок показывает как преобразовать координаты одного базиса к координатам другого при помощи линейных преобразований в виде матриц, состоящих из базисных векторов и обратных матриц для обратного преобразования.

В заключительной части на примере поворота на 90° против часовой стрелки иллюстрируется как изменяются в терминах другого базиса линейные преобразования.

В результате объясняется, что означает характерное перемножение матриц вида A-1 MA.

10. Собственные векторы и собственные числа

https://www..com/watch?v=PFDu9oVAE-g

Собственные векторы и числа представляют одну из наименее интуитивно понятных тем в линейной алгебре. Однако в геометрическом представлении это просто векторы, которые не отклоняются от своего направления в результате соответствующего им линейного преобразования – векторы растягиваются или сжимаются, но не поворачиваются вокруг начала координат.

В этом и заключается смысл известного выражения Av = λv – линейное преобразование заменяется на число, называемое собственным. Фактически собственные векторы и числа представляют другой способ рассмотрения линейного преобразования.

В уроке также даются определения диагональной и единичной матриц. Показывается логика нахождения собственных чисел и векторов через нулевой определитель. Иллюстрируется, в каких случаях возможны два, один, ноль или бесконечное количество собственных векторов.

В заключении видео описываются особые свойства диагональных матриц и построение нового базиса на собственных векторах. Последняя операция часто применяется в теории машинного обучения для диагонализации матриц. В конце видео дается небольшое упражнение для закрепления материала.

11. Абстрактные векторные пространства

https://www..com/watch?v=TgKwz5Ikpc8

В заключительном видео курса по линейной алгебре автор возвращается к вопросу первого урока – что представляют собой векторы в самом абстрактном смысле?

Функции и линейные операции над функциями можно рассматривать в векторном ключе. Любые операторы, для которых выполняются свойства аддитивности и мультипликативности, можно рассматривать как линейные преобразования. При этом вместо базисных векторов можно использовать базисные функции.

В уроке эта идея иллюстрируется на примере записи полинома, состоящего из любого числа слагаемых, в виде вектора. Показывается как операция взятия производной может быть реализована при помощи матричного оператора, действующего на такой вектор.

Переводя концепции из других областей математического знания (различных векторных пространств) на язык линейной алгебры и составив соответствующие уравнения, рассмотренные в курсе свойства векторов и линейных отображений можно обобщать на другие области знания.

Refy-free
Добавить комментарий