Диспут и формула Кардано

Исследовательский проект

Диспут и формула Кардано

МУНИЦИПАЛЬНАЯ VIIУЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»

Аннинский муниципальный район

Воронежская область

Секция: МАТЕМАТИКА

Тема: «Формула Кардано: история и применение»

Автор работы: Митрофанова Наталья

МКОУ Аннинская СОШ №3, 9 «В» класс

Место выполнения работы: МКОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «В» класс,

Воронежская область, п.г.т. Анна

Научный руководитель:Конюхова Галина Станиславовна,
учитель математики МКОУ Аннинская СОШ №3

г. АННА, 2014/2015учебный год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.

Введение………………………………………………………………………………………

3 – 4

2.

Формула Кардано: история и применение

2.1.

Несколько слов из истории формулы кубических уравнений……………………..

5

2.2.

Математические диспуты в средние века…………………………………………..

6 – 8

2.3.

Формула Кардано……………………………………………………………………..

9

2.4.

Примеры универсальных способов решения кубических уравнений……………

10 — 11

3.

Заключение………………………………………………………………………………….

12

4.

Библиографический список………………………………………………………………..

13

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека, –это все так или иначе связано с математикой.

А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним.

Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать.

Линейные уравнения первой степени нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений.

А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни.

Мне стало интересно узнать, не попытались ли известныематематики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

Объект исследования: алгебраическое уравнение третьей степени.

Предмет исследования:уравнения третьей степени, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования: систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

  1. Подобрать необходимую литературу.

  2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

  3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

  4. Найти различные методы и приёмы решенийуравнений третьей степени.

  5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза. Можно предположить, что формулы громоздки, неудобны для запоминания, а вычисления по ним занимают много времени.Также можно предположить, что можно предложить иные универсальные пути для решения кубических уравнений.

  1. Формула Кардано: история и применение

    1. Несколько слов из истории формулы кубических уравнений

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» Омара Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1593).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 года), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

ДжероламоКардано

24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Кардано,_Джероламо

Никколо Фонтана Тарталья (итал. NiccolòFontanaTartaglia, 1499—1557) — итальянский математик.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Тарталья,_Никколо

Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именноТартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.

За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

    1. Математические диспуты в средние века.

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный.

При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем.

Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал.

Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута.

Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков.

Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви.

Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении.

Его противником должен был быть математик и врач ДжеронимоКардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последний в своей книге «Arsmagna» опубликовал способ решения уравнения 3-й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари.

Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противоположную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

— Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет.

Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание.

Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан.

Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

      Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

— Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет ДжеронимоКардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть поистине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым».

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали неверное решение его задач.

Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, по его словами, его изобретение и использовавшие его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы — мой учитель и я — не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Arsmagna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

— Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены неправильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно…

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать.

Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари.

Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас — Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие.

И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это — историческая несправедливость.

Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной…

   Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:

 Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

x3 + ax2 + bx + c = 0,

(1)

где a, b, c произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (1) переменную х на новую переменнуюy по формуле:

x3+ax2+bx+c = (y )3 + a(y )2 + b(y ) + c = y3 3y2 + 3y + a(y2 2y + by = y3 y3 + (b

то уравнение (1) примет видy3 + (b

Если ввести обозначенияp =b,q = ,

то уравнение примет вид y3 + py +q = 0.

Это и есть знаменитая формула Кардано.

Корни кубического уравнения y3 + py +q = 0зависят от дискриминанта

D=

Если D>0, то кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.

Если D< 0, то кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Если D = 0, он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один единственный вещественный корень кратности 3).

2.4. Примеры универсальных способов решения кубических уравнений

Попробуем применить формулу Кардана к решению конкретных уравнений.

Пример 1:x3 +15x+124 = 0

Здесь p = 15; q = 124.

Ответ: х

Пример 2:x3 +6x – 2 = 0

Здесь p = 6; q =–2.

Ни подбор, ни разложение на множители не помогли бы решить это уравнение. В принципе в данном выражении формула сработала.

Налицо первый её недостаток – множество корней, большая часть которых на практике просто не извлекается, оставляя ответ громоздким.

Ответ: х

Пример 3:

1.Способ разложения на множители.

или

Ответ: х=1

2.Графический способ.

Построим в одной системе координат графики функций у = х3 и у = 4 – 3х (рис 1)
Функция у=х3 возрастающая, а функция у=4-3х убывающая. Одно решение очевидно.

РИС. 1

Ответ: х=1

3.Решение уравнения по Формуле Кардано.

Здесь p = 3; q =–4.

Формула не дает точного ответа х=1 хотя, решая уравнение другими способами, мы его получаем.

В процессе исследования я изучила справочнуюи научно-популярную литературу и выяснила, что существует формула Кардана, выражающая корни алгебраического уравнения третьей степени через коэффициенты уравнения:

Рассмотрев примеры, можно сделать вывод, что универсального единого способа решения кубических уравнений не существует. Каждое уравнение требует индивидуального подхода к решению.

Какое-то уравнение проще разложить на множители, применив при этом сначала подбор корней, а потом деление многочлена на многочлен столбиком, какое- то уравнение можно решить лишь графически, при этом корни иногда можно увидеть лишь приблизительно.

Поэтому, встретившись в следующий раз на уроке с кубическим уравнением, формулу Кардано попробуем применить лишь в самом крайнем случае, когда все остальные способы не дадут точного ответа.

К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что ещё раньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

4. Библиографический список

1. Журналы «Квант» (1974, №1; 1976,№9)

2. История математики: Рыбников К. А.-М.: Издательство МГУ, 1960.

3. Словарь высшей школы: Воднев В. Т., Наумович А. Ф.-М.: Издательство МПИ, 1988

4.Электронный ресурс «Решение кубических уравнений»: www.cubic-solver.info

5.Электронная энциклопедия «Википедия»:http://wikipedia

Источник: https://infourok.ru/issledovatelskiy-proekt-formula-kardano-istoriya-i-primenenie-963944.html

Реферат: Диспут и формула Кардано

Диспут и формула Кардано

Диспут

Формула Кардано

Мостового

Кирилла

г.Одесса

1999г

Диспут

          Диспуты в средниевека всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздныхгорожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, нообязательно научный.

При этом под наукой понимали то, что входило в переченьтак называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие.Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем.

Например, о том ,приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумскаясивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя непричислены к лику святых и т. д.

          Оспоре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менеепрославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толкомникто ничего не знал.

Говорили, что один из них обманул другого (кто именно икого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели оматематике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал началадиспута.

Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником,независимо от того, прав он или нет.

          Когдачасы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросиласьвнутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, удвух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные дляспорщиков.

Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то,что находились в церкви.

Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостасот остальной части центрального нефа, появился городской глашатай вчерно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана!Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении.

Егопротивником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. НикколоТарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3-Й­­ степени,принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог ипоэтому прислал своего ученика Луидже Феррари.

Итак, диспут объявляетсяоткрытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедруподнялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а напротивополжную кафедру взошел молодой человек  двадцати с небольшим лет, скрасивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полнаяуверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты свосторгом.

НачалТарталья.

—  Уважаемые господа! Вамизвестно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-йстепени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори.Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своёхитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет.

Он не остановился ни передобманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад вНюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, такбессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и егоученика на состязание.

Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложенои мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мнеудалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Карданои Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан.

Однако мне пришлосьждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они былирешены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичныйдиспут.

Тартальязамолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

—    Уважаемые господа! Мой достойныйпротивник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столькоклеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была стольголословной, что мне едва ли  доставит какой-либо труд опровергнуть первое ипоказать вам несостоятельность второго.  Прежде всего, о каком обмане можетидти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своимспособом  с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моегопротивника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано,«а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного иудивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческогодуха. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательствосилы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для негонедостижимым.»

—    Мой противник обвинил меня и моегоучителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач.

Но как можетбыть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя всепредписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже еслисеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить назамечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавшиего для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой учительи я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Этоизобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него,нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мойучитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего ондобивается диспутом?

—    Господа, господа, — закричалТарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодойпротивник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинноематематическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решеныне правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение изчисла решавшихся. Оно, как известно …

Вцеркви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы,начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать.

Толпа, требовала отнего, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари.

Тарталья,видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедрыи вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала«победителя» диспута Луиджи Феррари.

…Такзакончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новыеспоры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-йстепени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл , а Кардано выманил унего это открытие.

И если сейчас мы называем формулу, представляющую корниуравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это -историческая несправедливость.

Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меруучастия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то исможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останетсятайной …

          Если воспользоватьсясовременным математическим языком и современной символикой, то вывод формулыКардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарныхсоображений:

          Пусть нам данообщее уравнение 3-й степени:

ax3+3bx2+3cx+d=0                                      (1)

Если положить

                       , то мы приведемуравнение (1) к виду

                                                             (2)

где      ,

                              .

Введем новое неизвестное U спомощью равенства

.

Внося это выражение в (2),получим

                                            (3)

Отсюда

            ,

следовательно

Есличислитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение    и учесть, получающееся врезультате выражение для u оказываетсясимметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим

          .

(Произведениекубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p).

Этои есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновьк x, то получим формулу,определяющую корень общего уравнения   3-й степени.

          Молодой человек, так безжалостно обошедшийся сТарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливойтайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместилэтот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?

          Пусть                                      (1)

общее уравнение 4-й степени.

Если положить     ,

то  уравнение (1) можнопривести к виду

                             ,                                                 (2)

гдеp,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть, что это уравнение можно записать втаком виде:

                                     (3)

          Всамом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t,взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).

          Выберемпараметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) былаполным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условиемэтого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена(относительно y), стоящего справа:

                                                            (4)

Получилиполное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо егокорень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

                             .

Отсюда

                             .

Этоквадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), аследовательно и (1).

          За4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженнописал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни.Он чувствовал приближение смерти.

По некоторым сведениям его собственныйгороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября 1576г. за 2 днядо годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемойсмерти или даже чтобы подтвердить гороскоп.

В любом случае Кардано – астрологотносился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу длярешения уравнения в вещественнойобласти. Итак,

Привычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень,а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь ввещественной области, если . Двазначения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемыхдля x.

Значениякубического корня в вещественной области единственно и получается единственныйвещественный корень x при .Исследуя график кубического трехчлена ,нетрудноубедиться, что он в самом деле имеет единственный вещественный корень при . При  имеется три вещественныхкорня.

При  имеется двукратныйвещественный корень и однократный, а при  -трехкратныйкорень x=0.

          Продолжимисследование формулы при .Оказывается. Что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеетцелочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнутьпромежуточные иррациональности. Например, уравнение  имеетединственный корень (вещественный) – x=1. ФормулаКардано дает  для этого единственного вещественного корня выражение

                   .

Значит,

                   . Но фактически любоедоказательство предполагает использование того, что это выражение являетсякорнем уравнения . Если же неугадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые кубическиерадикалы.

          Опроблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубическогоуравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали называть формулойКардано.

          Умногих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации,когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важноустановить степень вины Кардано.

К концу XIX века частьдискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований.Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыгралиработы Кардано.

Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: «Кардано былвеликим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

Комплексные числа (избранные задачи)
… ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА АГЛЕБРЫ И … Для корнейкубическогоуравненияимеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее было бы ее называть формулой дель Ферро — ТартальиКардано. Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа
10 способов решения квадратных уравнений
Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа 10 способов решения квадратных уравнений Реутова Екатерина Викторовна, 11 кл … Итальянские математикиТарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратныеуравнения. Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа
Уравнения и способы их решения
Министерство общего и профессионального образования РФ Муниципальное образовательное учреждение Гимназия № 12 сочинение на тему: Уравнения и способы … Если квадратныеуравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения видаПеременные и равны кубическимкорням из и , а искомое решение кубическогоуравнения (13) — сумма этих корней: Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат
Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства
Государственный комитет по высшей школе Московский Государственный Институт Электроники и Математики (Технический Университет) РЕФЕРАТ НА ТЕМУ … В то же время, не пытаясь объять необъятное, мне показалось интересным рассмотреть лишь «корни» и «вершины»: зарождение естественно-филосовского мышления в Древней Греции и … Сохранившиеся документы показывают, что, основываясь на 60-ричной системе счисления, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имелись таблицы квадратных корней Раздел: Рефераты по философии Тип: реферат
Квадратныеуравнения и уравнения высших порядков
Министерство образования Российской Федерации Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №22» Квадратные … Очень любопытное свойство корнейквадратногоуравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет.2.8 Формула Кардано Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат

Источник: http://5rik.ru/better/article-46454.php

Диспут и формула Кардано (стр. 1 из 2)

Диспут и формула Кардано

Диспут

Формула Кардано

Мостового

Кирилла

г. Одесса

1999г

Диспут

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный.

При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем.

Например, о том , приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал.

Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута.

Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков.

Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви.

Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении.

Его противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3-Й­­ степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари.

Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

— Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет.

Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание.

Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан.

Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

— Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым.»

— Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач.

Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой учитель и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

— Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно …

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать.

Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари.

Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл , а Кардано выманил у него это открытие.

И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это — историческая несправедливость.

Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной …

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

ax3+3bx2+3cx+d=0 (1)

Если положить

, то мы приведем уравнение (1) к виду

(2)

где

, .

Введем новое неизвестное U с помощью равенства

.

Внося это выражение в (2), получим

(3)

Отсюда

,

следовательно

Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение

и учесть, получающееся в результате выражение для uоказывается симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим .

(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p ).

Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.

Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?

Пусть

(1)

общее уравнение 4-й степени.

Если положить

,

то уравнение (1) можно привести к виду

, (2)

где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие отa,b,c,d,e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

(3)

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).

Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y), стоящего справа:

Источник: https://mirznanii.com/a/312522/disput-i-formula-kardano

Диспут и формула Кардано

Диспут и формула Кардано

Диспут

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный.

При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем.

Например, о том , приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал.

Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута.

Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков.

Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви.

Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении.

Его противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3-Й­­ степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари.

Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

— Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет.

Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание.

Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан.

Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

— Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым.»

— Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач.

Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой учитель и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

— Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно …

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать.

Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари.

Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл , а Кардано выманил у него это открытие.

И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это — историческая несправедливость.

Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной …

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

Источник: http://www.newreferat.com/ref-3901-1.html

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Диспут и формула Кардано

Справочник по математикеАлгебраКубические уравнения

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 +
+ a2x + a3= 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0,(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

(4)

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

(10)
(11)

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

      Таким образом,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

(12)

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6×2 – 6x – 2 = 0.(13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

      Тогда получим

x3 – 6×2 – 6x – 2 =
= (y + 2)3– 6(y + 2)2 –
– 6(y + 2) – 2 =
= y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2 –
– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
= y3 – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

(18)

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня.

Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел.

Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/cardano.htm

Refy-free
Добавить комментарий